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材料力学--简单的超静定问题答案 （拉） （拉） （压） 返回 6-3 ?一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以 ，在F力作用下： ?? 变形协调条件：? 补充方程： 求解上述三个方程得： ? 返回 6-4 ?刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知 ，两根钢杆的横截面面积 ，试求两杆的轴力和应力。 解： ， ???????? ???????????????????????（1） 又由变形几何关系得知： ， ???????????????????????? （2） 联解式（1），（2），得 ， 故 ， 返回 6-5(6-7) ?横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力 ，弹性模量 ；木材的许用应力 ，弹性模量 。试求短木柱的许可荷载 。 解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： ??????????????? ???（1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 ????????????????????????????? ????（2） 由物理关系： ????????????? ?????（3） 式（3）代入式（2），得 ?（4） 解得：? 代入式（1），得： （2）许可载荷 ? 由角钢强度条件 由木柱强度条件： 故许可载荷为： 返回 6-6(6-9)? 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离 。已知上、下两段杆的横截面面积分别为 和 ，材料的弹性模量 。试作图示荷载作用下杆的轴力图。 解：变形协调条件 故?? ???? 故? ， 返回 6-7(6-10)? 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为 ，线膨胀系数 ℃-1。试求当温度升高 ℃后，该杆各部分产生的应力。 解：设轴力为 ，总伸长为零，故 ? ??? = = 返回 6-8(6-11)? 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩 。若 ，试求固定端的支反力偶矩 ，并作扭矩图。 解：解除B端多余约束 ，则变形协调条件为 即? 故： 即： 解得： 由于? 故?? 返回 6-9(6-13)? 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个 角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和杆B的极惯性矩分别为 ；两杆的材料相同，其切变模量为G。 解：解除Ⅱ端约束 ，则Ⅱ端相对于截面C转了 角，（因为事先将杆B的C端扭了一个 角），故变形协调条件为 =0 故： 故： 故连接处截面C，相对于固定端Ⅱ的扭转角 为： ??? = 而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角 为： ?? = 应变能? ???????? = ???????? = 返回 6-10(6-15)? 试求图示各超静定梁的支反力。 解（a）：原梁AB是超静定的，当去掉多余的约束铰支座B时，得到可静定求解的基本系统（图i）去掉多余约束而代之以反力 ，并根据原来约束条件，令B点的挠度 ，则得 到原超静定梁的相当系统（图ii）。利用 的位移条件，得补充方程： ? 由此得： 由静力平衡，求得支反力 ， 为： ?? ????????????????????????????? ????? ??? ? 剪力图、弯矩图分别如图（iii），（iv）所示。梁的挠曲线形状如图（v）所示。这里遵循这样几个原则： （1）固定端截面挠度，转角均为零； （2）铰支座处截面挠度为零； （3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸； （4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。 （b）解：由相当系统（图ii）中的位移条件 ，得补充方程式： ? ? ??? 因此得支反力： 根据静力平衡，求得支反力 ： ? ??? ,?? ???? ? 　 剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。 　 　 （c）解：由于结构、荷载对称，因此得支反力 ； 应用相当系统的位移条件 ，得补充方程式： ???? ??? 注意到 ，于是得： ??? ?? = 剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。 ? 其中： ?????????? ?????????? 若 截面的弯矩为零，则有： ?????????? ????