西南财经大学天府学院《离散数学》课件-第6章 几个典型的代数系统.pptVIP

在一个集合上定义一个或多个运算,就形成了一个代数运算系统,或称代数系统。 代数结构是研究代数系统的一般性质及各种特殊代数系统的学科，其理论和方法不仅对其它数学学科产生着深远的影响，在计算机科学领域也有着广泛的应用。 第六章 几个典型的代数系统 西南财经大学天府学院《离散数学》 6.1 半群与群 定义6.1 (1) 设V=S,。是代数系统，。为二元运算， 如果。满足结合率，则称此代数系统为半群。 (2) 设V=S,。是半群，若e ∈S是关于。运算的幺元，则称V是幺半群，也叫独异点。有时记作S, 。,e。 例6.1 考察下列代数系统哪些是半群？哪些是幺半群？ ① Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群。除 Z+,+外,都是幺半群, +表示普通加法。0是幺元 ② Mn(R),+,Mn(R),?,是半群和幺半群, 矩阵加法和 乘法的幺元分别是n阶0矩阵和单位矩阵E ③ ?*,。,是半群和幺半群, ?是有穷字母表,。表示连接运算。幺元是空串?。 ④ P(B),?,是半群和幺半群, ?为对称差，幺 元是? ⑤ Zn ,? ,是半群和幺半群, 其中 Zn=?0,1,?,n-1?,?表示模n加法 x?y=(x+y) mod n ,幺元是0。 。 例6.2 考察下列集合和运算哪些可以构成半群？ 哪些可以构成幺半群？ (1) S1={1,1/2,2,1/3,3,1/4},*为普通乘法。 (2) S2={a1, a2, …,an},n∈Z,*定义为: ai * aj = ai ,i,j∈S2 。 (3) S3={0,1},*为普通乘法。 (4) S4={1, 2,3,6},x*y表示求x和y的最小公倍 数，x,y∈S2 。 (5) S5={0,1},*为模2加法。 解：(1) 不是代数运算。 (2) 半群。 (3) 幺半群，幺元为1。 (4) 幺半群，幺元为1。 (5) 幺半群，幺元为0 半群的幂运算 对于半群V=S,。中，?x∈S，规定： x1=x xn+1=xn。x , n ∈ Z+ 用数学归纳法易证得： xn 。 xm = xn+m (xn) m= xnm m,n ∈ Z+ 独异点是特殊的半群，故也具有以上幂运算，只是： x0=e xn+1=xn。x , n ∈N 如果半群V=S,。中的二元运算。是可交换的，则称V为可交换半群。 子半群——半群的子代数 如果V=S,。是半群，T ? S，如果 T 对 V 中的。运算封闭，则T,。就是V的子半群。 子独异点——独异点的子代数 如果V=S,。,e是独异点，T ? S，如果 T 对 V 中的。运算。封闭，且e∈T ，则T,。,e就是V的子独异点。（ x0 = e ) S= a,d∈R , e为2阶单位矩阵 a 0 0 d 1 0 0 1 T= a ∈ R a 0 0 0 则，V3=T, .是否为半群或独异点?是否为V1 的子半群或V2的子独异点?其中 例6.3 设半群V1=S, ? ,独异点V2=S, ? ,e,其 中 ? 为矩阵乘法, 1 0 0 0 ∴ V3是独异点。 V3不是V2的子独异点， 因为V2 的幺元 e= ? T 1 0 0 1 解: ∵ T对矩阵乘法 . 是可结合的, ∴故V3是半群。 ∵ T ? S, ∴ V3是V1子半群。 ∵ V3存在自己的幺元 定义6.2 设V1=S1,?,V2=S2,*是半群(或独异点),则V1×V2=S1×S2 ,?也是半群，且对任意 a,