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长春市普通高中 2022 届高三质量监测（三）线上考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. C 8. C 9. A 10. A 11. B 12. D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 1 1 14. 1 ; 7 15. 16. ①②④ 3 3 e 3 三、解答题 (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1） S n n 2 n ， 令n 1 ，a1 0 ，（1 分） an S n S n 1 2 n 1 ， n 2 （2 分） an 2 n 1 又 数列 bn 为等比，b2 a2 2 ，b4 a5 8 b4 q2 4 ，（2 分）又各项均为正 q 2 ， b 2n 1 （1 分） （6 分） b2 n （2）由（1）得：cn n 1 2n （2 分） Tn 0 2 1 2 2 3 1 23 n 1 2n 1 2 2 2 23 n 1 2n 2Tn 1 23 2 2 4 n 2 2 n n 1 2n 1 Tn 2 2 23 2 42 n n 1 2n 1 2 2 1 2n 1n 1 2n 1 2 n 1 n 1 2 n 1 4 1 2 Tn n 2 2 n 1 4 （4 分） （12 分） 18. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）由频率分布直方图可知a 0.014 . （2 分） （2 分） （2）平均成绩为(45 0.006 55 0.014 65 0.018 75 0.032 85 0.020 95 0.010) 10 72.6 . （4 分） （6 分） 1 10 20 （3）由题意可知 X B(10, 3) 的二项分布，（4 分）因此EX 3 ， DX 9 . （2 分） （12 分） (本小题满分 12 分) 【试题解析】（1）因为F 为 BC 的中点，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， DAB 3 ，所以 DCB 3 且DC 2 CF 2 ，易知：△DFC 为直角三角形，故 FDC 6 ， ADC 23 ，则 ADF ADC FDC 2 ，故DF AD，（2 分） 由面 ADP⊥面 ABCD，面 ADP 面 ABCD AD ，DF 面 ABCD ， 所以DF 面 ADP ，（2 分）又 AE 面 ADP ，即 AE DF . （2 分） （6 分） （2）若O 是 AD 中点，连接OP, OB ， 由△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形， F 为 BC 的中点，则OP AD ，OB / / DF ， 由（1）知：DF AD，故OB AD ； DF 面 ADP ，即OB 面 ADP ，又OP 面 ADP ，故OB OP ， 综上， AD, OB, OP 两两垂直， 故可构建如下图示的空间直角坐标系O xyz ， 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 3 页） 令OP m 0 ，且 E 为 PD 的中点，则C( 2, 1 , 0, m ) ， 3, 0) ，D( 1, 0, 0) ，F( 1, 3, 0) ，E( 2 2 1 m 所以EF ( , 3, ) ，DF (0, 3, 0) ，CF (1, 0, 0) ， 2 2 1 m n EF x 3y z 0 2 2 若n ( x , y , z) 是面EDF 的一个法向量，则 ，令z 1，即n ( m, 0,1) ， 3y 0 n DF （2 分） 1 m k EF a 3b c 0 (0, m 若k ( a , b , c) 是面CEF 的一个法向量，则 2 2 ，令c 1，即k ,1) ， 2 3 a 0 k CF （2 分） n k 1 15 | cos n , k | | | 2 所以 10 2 2 2 ， 2 | n || k | m2 1 m 1 ，可得m 4 ，又PB OP OB 12 所以PB .（2 分） （12 分） 7 (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）由长轴的两个端点分别为 A 2, 0 ， B 2, 0 ，可得a 2 ，由离心率为 23 ，可得 ac 23 ，（2 分）所以c 3 ， 又a 2 b 2 c2 ，解得b 1，所以椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1； （2 分） （4 分） 4 x my 1 得 m 2 4 2 2my 3 0 （2）设直线 l 的方程为 x my 1 ，由 x2