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PAGE PAGE 10 第六章：定积分 第一节：定积分的概念和性质 一、两个实例 曲边梯形的面积 单曲边梯形：将直角梯形的斜腰换成连续曲线段后的图形． ⅡⅠⅢ Ⅱ Ⅰ Ⅲ Ⅳ 由其他曲线围成的图形，可以用两组互相垂直的平行线分割成若干个矩形与单曲边梯形之和． 适当选择直角坐标系，将单曲边梯形的一直腰放在 x 轴上，两底边为 x=a，x=b，设曲边的方程设为 y=f(x)．先设 f(x)在[a，b]上连续， 且 f(x)? 0，如图所示．以 A 记图示曲边 梯形的面积． y y=f(x)  y y=f(x) O a ? f(?) x b  O a x  x x x f(?i) x ? x x b 1 2 3 i－1 i i n － 用区间[a，b]为宽，高为 f(?)(a?b)的矩形面积来作为 A 的近似值． (1)分割 任取一组分点 a=x0x1x2...xi－1xi...xn－1xn=b 将区间[a，b]分成 n 个小区间 i i n n[a，b]=[x ，x ]?[x ，x ]?...?[x ，x ]?...?[x ，x ] i i n n 0 1 1 2 －1 －1 －第 i 个小区间的长度为?xi=xi－xi 1，(i=1，2，...，n)．过各分点作 x 轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n 个小曲边梯形(图 5－2(2))，第 i 个小曲边梯形的面积为?Ai． － －－小范围内以不变代变取近似 在每一个小区间[xi 1，xi]上任取一点?i，(i=1，2，...，n)，认为 f(x)?f(?i)， (xi 1??i?xi)，以这些小区间为底、f(?i )为高的小矩形面积作为第 i 个小曲边梯形面积的近似值 － － ?Ai?f(?i)??xi ，(i=1，2，...，n)． 求和得近似 将 n 个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积 的近似值 A ? ?n ?A ? ?n i  f (? i )?x ． i i?1 i?1 取极限达到精确 以||?x||表示所有小区间长度的最大者， n||?x||=max{?x ，?x ，...，?x }， n 1 2 当||?x||?0 时，和式(1)的极限就是原曲边梯形的面积 A，即 A= lim ?n ||?x||?0 i ?1 f (? i )?x ． i y 曲边梯形中的曲线方程 y=f(x) 与面积的关系：以 S(x)表示以  S(x) y=f(x) f(x)+? x [a，x]为底边的曲边梯形的面积， O a x x+?x b (a?x?b)，则所求面积 A=S(b)=S(b)－S(a) ． ?S=S(x+?x)－S(x)表示以[x，x+?x]为底的曲边梯形小条的面积，不妨设 f(x)f(x+?x)，?x0，则 f(x)??x?S f(x+?x)??x，f(x) ?s f(x+?x)； ?x 因为 f(x)在[x，x+?x]连续，由介值定理，存在??[x，x+?x]，使 ?s = f(?)，?S=f(?)??x． ?x 当?x?0，??x，因为 f(x)连续，f(?)?f(x)，所以 lim ?s =S?(x)=f(x)． ?x ?0 ?x 即 f(x)恰好是面积函数 S(x)关于 x 的变化率．因此可见，已知曲边y=f(x)，求图5－2(1)那样的曲边梯形的面积 A，从分析角度讲，实际上给出了面积函数 S(x)的变化率 f(x)，求 S(x)在[a，b]段的累积量 S(b) －S(a)． 变速直线运动的路程 设一物体沿一直线运动，已知速度 v=v(t)是时间区间[t ，T]上 t 0 的连续函数，且 v(t)?0，求这物体在这段时间内所经过的路程 s． 分割 任取分点 t t t ...tn tn=T，把时间区间[t ，T]分 成 n 个小区间 0 1 2 －1 0 [t ，T]=[t 0 0 ，t ]?[t 1 1 ，t ]?...?[t i2 －1 i ，t ]?...?[t i n－ i n ，tn]， －1 1－记第 i 个小区间[ti ，ti]的长度为?ti=ti－ti ，物体在第 i 时间段内所过走的路程为?Si，(i=1，2，...， －1 1－ i i在小范围内以不变代变取近似 在小区间[t ，t ] i i －1 －是匀速的，用其中任一时刻?i 的速度 v(?i)来近似代替变化的速度 v(t)， 即 v(t)?v(?i)，t?[ti 1，ti]，得到?Si 的近似值 － ?Si?v(?i)??ti． 求和得近似 把 n 段时间上的路程近似值相加，得到总路程 的近似值： S ? ?n i?1 v(? )?t i i 取极限达到精确 当最大的小区间长度||?t||=max{?t ，