数理统计第三章习题课.pptVIP

* 令 即 故 Z 不是? 的无偏估计量. 设 例13 设 是总体 X 的一个样本 , X ~ B ( n , p ) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量. 令 * 因此, p 2 的无偏估计量为 故 * 例14 设总体 X ~ N (? ,? 2), 为 X 的一个样本 求常数 k , 使 为? 的无偏估计量 解 注意到 是 X1, X2,…, Xn 的线性函数, * * * 故 注 解题中最易发生错误是 例15 设总体期望为 E( X )= ? , 方差 D( X )=? 2 为总体X 的一个样本 常数 证明 是 ? 的无偏估计量 (2) 证明 比 更有效 证: (1) * * * 比 更有效 结论 算术均值比加权均值更有效. * 例16 设 是总体 的样本 , 试判别 的估计量 是否具 有无偏性？ 解 否,证明如下: 于是 已知 从而 * 由例16可见： 虽有 但未必有 一般 若 是? 的无偏估计， 不是? 的 线性函数,那么 不是 的无偏估计. * 关于相合性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合估计量. 是? 的相合估计量. 由大数定律证明 用切贝雪夫不 等式证明 矩法得到的估计量一般为相合估计量 在一定条件下, 极大似然估计具有相合性 2. 设 是 ? 的无偏估计 量, 且 , 则 无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性这一概念 . 的大小来决定二者 和 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 的无偏估计量， 比较 我们可以 谁更优 . * * 集中或分散程度用DX 衡量 散 集中 EX EX 定义3.1.3: 2.有效性 * * 大量实践表明：随着样本容量的增加，估计量 与被估计参数 的偏差越来越小 这是一个良好估计量应该具有的性质 试想，若不然，无论做多少次试验，也不能把 估计到任意指定的精度，这样的估计量显然不可取. 定义3.1.4: 3.相合性 * * 注：估计量的相合性是对大样本提出 的要求，是估计量的一种大样本性质. 根据概率论可知上述三种相合性的关系 如下： 1 强相合推出弱相合，反之不一定； 2 对任何r0,有r阶矩相合推出弱相合， 反之不一定 * 3 强相合与有r阶矩相合之间没有包含关系 一致最小方差无偏估计 * * 但是，一致最小均方误差估计常不存在. 解决办法：把最优性准则放宽些，使得适合这种最优性的估计一般存在.在一个大的估计类中，一致最优估计量不存在，把估计类缩小，就有可能存在一致最优的估计量. 因此把估计类缩小为无偏估计类来考虑. * 把不存在无偏估计的参数除外. 若参数的无偏估计存在，则称此参数为可估参数. 无偏估计一般不唯一 在无偏估计类中，估计量的均方误差就是其方差.即 若参数函数的无偏估计存在，则称此函数为可估函数. * 对给定参数分布族，寻找可估函数的一致最小方差无偏估计的方法有如下： 零无偏估计法，充分完全统计量法， Cramer_Rao不等式法 * 下面的引理提供了一个改进无偏估计的方法. * 说明： * 下面的定理给出了求UMVUE的方法，即充分完全统计量法，是由E.L.Lemann.和H.Scheffe提出的，完全统计量的概念也是由他们在1950年提出. * * 其中? 0为未知参数 (2) 设0.5, 1, 1.5是总体X 的三个样本的观测值 ，求参数 ? 的矩估计值 例1. 设总体X 的概率密度函数为 (1) 设 , , 为来自总体的样本，求参数 ? 的矩估计 * 例2 设总体 X ~ E(?), X1, X2,…, Xn为总体的样本, 求?的矩法估计量。 故 * 解:由密度函数知 例3 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 0,求 的矩估计. 具有均值为 的指数分布 故 E(X- )= D(X- )= 即 E(X)= D(X)= * 解得 令 用样本矩估计 总体矩 即 E(X)= D(X)= * * 解: 解得 的矩估计. 即为 X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计. 例4设总体X的概率密度为 * 例6设总体 X