2022届中考数学压轴难题附答案解析.pdfVIP

2022年中考数学压轴题 1．如图，抛物线y＝ax +bx+c （a≠0）与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C （0，3），2 且OB＝OC＝3AO．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y 轴交于点E，点Q是抛 物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P 的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标； （2）连结CQ，判断线段CQ与线段AE 的数量关系和位置关系，并说明理由． 1 （3）连结PA、PD，当m为何值时，S = S ； △PAD 2 △DAB （4）在直线AD 上是否存在一点H使△PQH为等腰直角三角形，若存在请求出m 的值， 不存在请说明理由． 解：（1）直线y＝x+1与抛物线交于A 点，则点A （﹣1，0）、点E （0，1）， 则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3）， 故抛物线的表达式为：y＝a （x+1）（x ﹣3）＝a （x ﹣2x ﹣3），2 即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 函数的对称轴为：x＝1，故点Q （1，4）； （2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由： 2 = 2， CQ= +(4−3) √ √1 2 2 + = 1+1= 2 而AE=√ √ √ ∴CQ＝AE， 同理直线CQ表达式中的k值也是1，故AE∥CQ， 故线段CQ与线段AE 的数量关系和位置关系是平行且相等； （3）联立直线y＝x+1与抛物线的表达式并解得：x＝0或2，故点D （2，3）， 第 1 页 共 10 页 过点P作y 轴的平行线交AD 于点K， 设点P （m，﹣m2+2m+3），则点K （m，m+1）， 1 1 1 1 S = ×PK×（xD ﹣xA）= ×3×（﹣m2+2m+3﹣m﹣1）= S = ×4×3， △PAD 2 2 2 △DAB 4 解得：m＝0或1， 故点P （0，3）或（1，4）； （4）存在，理由： 设点H （t，t+1），点P （m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q （1，4）， ①当∠QPH＝90°时，如图2， 过点P作y 轴的平行线，分别交过点H、点Q与x轴的平行线于点M、G， ∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP， ∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ， ∴△PGQ≌△HMP （AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM， 即：4﹣n＝t﹣m，1﹣m＝n﹣t﹣1， 解得：m＝0或2， 故点P （2，3）（舍去）或（0，3）； ②当∠PQH＝90°时， 第 2 页 共 10 页 QP＝QH，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即PH垂直于抛物线的对称轴， 而对称轴与x轴垂直，故PH∥x轴，则∠QHP＝∠QPH＝45°， 同理可得：m＝0或3 （舍弃）， 故点P （2，3）（舍去）或（0，3）； ③当∠QHP＝90°时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时， 如下图所示，点P在AD 下方，与题意不符，故舍去． （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时， 同理可得：m＝1− 2； √ 综上，m＝0或1− 2． √ 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且△ABC面积为10． （1）求点C的坐标及直线BC 的解析式； （2）如图1，设点F 为线段AB 中点，点G