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【数学】XSC基础知识汇总 第一章 数和数的运算 第一节 概念 （一）整数 整数的意义：自然数和 0 都是整数。 自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。 计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计数法。 数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 数的整除： （1）整除、倍数、因数：整数 a 除以整数 b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们 就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a 。 如果数 a 能被数 b（b ≠ 0）整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数（或 a 的因数）。 倍数和因数是相互依存的。 例如因为 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍数，7 是 35 的因数。 ●一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。例如：10 的因数有 1、2、5、10，其中最小的因数是 1，最大的因数是 10。 ●一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有：3、6、9、12…… 其中最小的倍数是 3 ，没有最大的倍数。 （2）整除的性质： ●个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除，例如：202、480、304，都能被 2 整除。。 28 ●个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。。 ●一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除，例如：12、108、204 都 能被 3 整除。 ●一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。 ●能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。 ●一个数的末两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。例如：16、 404、1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675 都能被 25 整除。 ●一个数的末三位数能被 8（或 125）整除，这个数就能被 8（或 125）整除。例如：1168、 4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都能被 125 整除。 （3）奇偶性：能被 2 整除的数叫做偶数。 不能被 2 整除的数叫做奇数。 0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。 （4）质数与合数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）， 100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12 都是合数。 ●1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数 的个数的不同分类，可分为质数、合数和 1。 （5）分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合 数的因数，叫做这个合数的质因数，例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （6）公因数与公倍数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个， 29 叫做这几个数的最大公因数，例如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有 1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公因数，6 是它们的最大公因数。 公因数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： ●1 和任何自然数互质。 ●相邻的两个自然数互质。 ●两个不同的质数互质。 ●当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 ●两个合数的公因数只有 1 时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 ●如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。 ●如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是 1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如 2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 的倍数有 3、6、9、12、15、18 …… 其中 6、12、18……是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小公倍数。。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限