不等式基本性质求代数式的取值范围.docx

不等式性质求代数式的取值范围 一. 知识要点： 不等式概念 用不等号( ?, ?, ?, ?, ? )表示不等关系的式子称为不等式。 其中用?, ? 连接的不等式，如 f (x) ? g (x) 称为严格不等式；而用?, ? 连接的不等式如 f (x) ? g (x) 称为非严格不等式。 比较两个实数大小的依据 主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实数 a, b 的大小，即判断它们的差的符号。概括为， a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b .其中? 表示“等价于”，意味着两边可以相互推出。 不等式的基本性质 ?性质 1(对称性) 若a ? b ,则b ? a ;若b ? a ,则a ? b .即a ? b ? b ? a . 性质 2(传递性) 若a ? b , b ? c ,则a ? c . 即a ? b? ? a ? c . ? b ? c ? 性质3(同加或减性) 若a ? b ,则a ? c ? b ? c 或a ? c ? b ? c . 进一步可得 (移项): a ? b ? c ? a ? b ? (?b) ? c ? (?b) ? a ? c ? b 或a ? b ? c ? a ? b ? b ? c ? b ? a ? c ? b . 性质 4 若a ? b, c ? 0 , 则ac ? bc . 若a ? b, c ? 0 , 则ac ? bc . 性质 5 若a ? b, c ? d ,则a ? c ? b ? d . 性质 6 若a ? b ? 0, c ? d ? 0 , 则ac ? bd . n b性质 7 若a ? b ? 0 , 则an ? bn ( n ? ￥ , n ? 2 n b n a性质 8 若a ? b ? 0 , n a ? ( n ? ￥ , n ? 2 ). 特别强调: a ? b ? 1 ? 1 a b 不一定成立. 因为当ab ? 0 时, 有 1 ? a 1 ;当ab ? 0 b 时, 1 ? 1 无意义; 当ab ? 0 时,有 1 ? 1 . a b a b 二. 解题思路: 利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题, 解此类问题时, 常利用不等式性质 3 的推论, 即“同向不等式的两边可对应相加; 异向不等式的两边可相减”. 但请注意, 此种转化并不是等价变形, 在一个解题过程中多次利用这种转化时, 就有可能扩大真实的取值范围, 从而求出错误答案. 正确的解法是: 先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系 ,再通过“一次性不等关系的运算”, 求出待求的范围. 三．求解步骤 ① 把将要计算的代数式 c 用已知的两个代数式 a 与 b 表达出来, 即 令c ? k a ? k 1 b (其中 k , k 2 1 2 为常数), 并求出 k , k 1 2 的值. 此方法可以推广 到多个代数式的情况. ② 分别求出k a与k 1 b 的取值范围. 2 ③ 一次性利用不等式的性质, 求出k a ? k 1 b 的取值范围, 即得代数式 2 c 的取值范围. 四. 高考题演练 (辽宁高考) 已知-1 ? x ? y ? 4 且2 ? x ? y ? 3 , 则 z ? 2x ? 3y 的取值范围是 ．提示 1 ( 江苏高考 ) 设实数 x, y 满足 3 ? xy2 ? 8, 4 ? x2 ? 9 , 则 x3 的最大值 是 ．提示 2 y y4 ?13. 若?, ? 满足??1 ? ? ? ? ? 1, 则? ? 3? 的最大值是 ． ?1 ? ? ? ? 2? ? 3 3 4. 已知1 ? lg x y ? 2, 2 ? lg x3 ? 3 , 则lg x2 的取值范围是 ．提示4 y3 y5. 已知 f (x) ? ax2 ? c 且 ?4 ? f (1)? ?1, ?1 ? f (2) ? 5 , 则 f (3) 的取值范围是 ．提示 5 y 3 y 6. 已知:1 ? a ? b ? 2 且2 ? a ? b ? 4 , 求4a ? 2b 的取值范围． 提示 6 7. 已知二次函数 y ? f (x) 的图像过原点 ,且1 ? f (?1) ? 2, 3 ? f (1)? 4 , 求 f (?2) 的取值范围． 提示 7 参考答案: 提 示 1 ： 设 z ? 2x ? 3 y ? m(x ? y) ? n(x ? y) ? (m+n)x ? (m ? n) y , 因 为 ?m ? ? 1 ?m ? n ? 2 ,得? 2 , 所以?2 ? ? 1 (x ? y) ? 1 , 5 ? 5 (x ? y)