椭圆常结论及其结论.docxVIP

2 椭圆常用结论 一、椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1) 内常数e ，那么这个点的轨 a 2c迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现， 左对左，右对右 a 2 c 对于 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1，左准线l 1 : x ? ? a 2 c ；右准线l 2 : x ? 对于 y 2 ? x 2 a 2 b 2 ? 1，下准线l 1 : y ? ? a 2 c ；上准线l 2 : y ? a 2 a 2 c a 2 a 2 ? c 2 b 2 焦点到准线的距离 p ? ? c ? ? c c c （焦参数） P P y A1 F 1 B2 O B1 x F A2 2 圆锥曲线上任意一点 圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 椭圆的焦半径公式： 焦点在 x 轴（左焦半径） r 1  ? a ? ex 0  ,（右焦半径） r 2  ? a ? ex 0  ,其中e 是离心率 焦点在 y 轴 MF ? a ? ey , MF ? a ? ey 其中 F , F 分别是椭圆的下上焦点 1 0 2 0 1 2 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左 加右减，上减下加 ?PF 1 ? a ? c, PF 2 ? a ? c? 推导：以焦点在 x 轴为例 如上图，设椭圆上一点P?x , y 0 0 PF  ?，在 y 轴左边. 根据椭圆第二定义， 1 PM ? e ， ? ? c2 ?? ? a2 ? c ? a2 ? 则 PF ? e PM ? e? x ? ? ? c ?? ? e? x ? c ? ? a ? x ? c ? ? a ? ex 1 ? 0 ? ?? ? 0 ? ? 0 ? 0 同理可得 PF 2 ? a ? ex 0 三、通径： 圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦 AB ? b2 ? ? b2 ? a a坐标： A? c,? ? ， B? c, ? a a ? ? ? ? 弦 AB 长度： AB ? 2b2 a 四、若 P 是椭圆： x 2 a 2 y 2 b 2 ? 1 上的点. F ,F 1 2 为焦点，若?F PF 1 ? ? ，则?PF F 2 1 2 的面积为 b 2tan ? . 2 推导：如图S  ? 1 PF ? PF  ?sin? 12?PF F 2 1 2 1 2 根据余弦定理，得 PF 2 ? PF 2 ? F F 2 cos ? = 2 PF 1 1 2 PF 2 = = PF ? PF )2 ? 2 PF ? PF ? 4c2 1 2 PF ? PF 1 2 1 2 =4 = 4a2 ? 2 PF ? PF ? 4c2 2 PF ? PF 1 2 1 2 = 4b2 ? 2 PF ? PF 2 PF ? PF 1 2 1 2 得 PF 1 PF 2 1 ? 2b2 1? cos?  1 2b2  sin? ? 2S ? PF ? PF ?sin? = 2 ?sin? = b2 ? = b2 tan 1?PF F 1 2 1 2 2 1? cos? 1? cos??2 P P y A1 F 1 B2 O B1 x F A2 2 五、弦长公式 直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 A(x , y ),B(x , y  ),则它的弦长 AB ?  1? k2x ? 1? k2 1 2 1 1 2 2 (1? (1 ? k ) (x ? x ) ? 4x x 2 ? 2 1 2 1 2 ? 1? 1 y ? y k2 1 2 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因 为 y ? y 1 2 ? k(x 1 x ) ，运用韦达定理来进行计算. 2 当直线斜率不存在是,则 AB ? y 1 y . 2 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式： 设 M (x , y 0 0 ) 为椭圆 x2 ? a2 y2 ? 1弦 AB （ AB 不平行 y 轴）的中点，则有： b2 k ? k AB OM ? ? b2 a2 证明：设 A(x , y 1 1 ) ， B(x , y 2 2 ) ，则有 ? x2 y2 ? 1 ? 1 ? 1 yk ? 1 ? y2 y ? a2 b2 ，? 两式相减得： AB x ? x ? x2 y2 1 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? a2 b2 x