子空间的交与和（课堂PPT）.pptVIP

2021/3/29 2021/3/29 子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.　 例如，在R3中，设子空间 其中， 但， 则， 由此还可得到， 是一直线. 2021/3/29 从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数 的和来得小. 例如，在三维几何空间中，两张通 过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其 维数之和却等于 4 . 由此说明这两张平面的交是 一维的直线. 2021/3/29 推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1, V2 的维数之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公 共向量. 证明 由假设 维(V1 + V2 ) + 维(V1∩V2 ) = 维(V1) + 维(V2) n. 但因 V1 + V2 是 V 的子空间而有 维(V1 + V2 ) ? n , 所以 维(V1∩V2 ) 0 . 这就是说， V1∩V2 中含有非零向量. 证毕 2021/3/29 小 结　 1.子空间的交 2.子空间的和 3.子空间的交与和的性质 4.子空间的交与和的维数 2021/3/29 第六章 线性空间 2021/3/29 §2 线性空间的定义 与简单性质　　　 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 2021/3/29 主要内容 子空间的交 第六节 子空间的交与和 子空间的和 子空间的交与和的性质 例题 子空间的交与和的维数 2021/3/29 一、子空间的交 1. 定义 定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间, 称 V1 ∩V2 ={ ? | ? ? V1 且 ? ? V2 } 为 V1 , V2 的交. 2021/3/29 2. 性质 定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间, 那么它们的交V1 ∩V2 也是 V 的子空间. 证明 首先，由 0 ? V1 ， 0 ? V2 ，可知 0 ? V1 ∩V2 ，因而 V1 ∩V2 是非空的. 其次，如果?, ? ? V1 ∩V2 , 即 ? , ? ? V1 ，而且? , ? ? V2 ， ? + ? ? V1 ，? + ? ? V2 ， 对数量乘积可以同样地证明. 所以V1 ∩V2 是 V 的 子空间. 证毕 那么 因此 ? + ? ? V1 ∩V2 . 2021/3/29 3. 子空间的交的运算规律 1) 交换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ； 2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) . 推广　　　多个子空间的交 为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间，称为 　　　 的交空间. 2021/3/29 二、子空间的和 1. 定义 定义 2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成?1 + ?2 ，而?1 ? V1 ，?2 ? V2 的向量组成的子集合，记 作 V1 + V2 ，即 V1 + V2 = {? | ? = ?1 + ?2 , ?1 ? V1 , ?2 ? V2 } 2021/3/29 2. 性质 定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间. 证明 首先， V1 + V2 显然是非空的. 其次 如果 ? , ? ? V1 + V2 , 即 ? = ?1 + ?2 , ?1 ? V1 , ?2 ? V2 , ? = ?1 + ?2 , ?1 ? V1 , ?2 ? V2 , 那么 ? + ? = (?1 + ?1 ) + (?2 + ?2 ) . 2021/3/29 又因为 V1 , V2 是子空间，故有 ?1 + ?1 ? V1 ，?2 + ?2 ? V2 . 因此 ? + ? ? V1 + V2 . 同样， k? = k?1 + k?2 ? V1 + V2 . 所以， V1 + V2 是 V 的子空间. 证毕 2021/3/29 3. 子空间的和的运算规律 1) 交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ； 2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) . 推广　　　多个子空间的和 为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间，称为 　　　 的和空间. 2021/3/29 1) V的两子空间