2019年“四点共圆”在中考数学解题中的应用赏析.docxVIP

PAGE PAGE 10 “圆”来如此简单 ——“四点共圆”在中考解题中的应用赏析 2012 年 8 月，在暑假集体备课之际，新浙教版数学教材以焕然一新的面貌出现在大家眼前。与老版相比，新版教材增加了一些传授内容。其中，九年级上册的《圆内接四边形》就是一节新增内容。而且与之配套的《数学教学参考书》在 3.6《圆内接四边形》这一课时末尾，颇有用意地在第 103 页“相关资源”中对于如何判定四点共圆作了批注。原文如下： C1 C 1 2 D 如图，四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等 （如 1 2 ），则这个四边形为圆内接四边形，也就是四边形的 A 四个顶点共圆。 B 如果四边形的两个对角互补，那么这个四边形为圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。 判定四点共圆会给许多几何问题的解决带来方便。 近年来，经过笔者的收集整理和实践探究，发现很多地方的中考试题，都能通过妙用四点共圆达到事半功倍的效果。现就四点共圆问题在中考解题中的应用，采撷几例，剖析解法，供大家分享。 一、四点共圆与线段问题结合的应用举例 例 1．（2013绍兴）在△ABC 中，∠CAB=90°，AD⊥BC 于点 D，点 E 为 AB的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上． 如图 1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． 如图 2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求 EF：EG 的值． 原方法分析：第（2）小题作 EH⊥AD 于 H，EQ⊥BC 于 Q，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出 EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定 义得出 EQ= 1 BE，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出 EH= 3 AE，又 BE=AE， 2 2 进而求出 EF：EG 的值． 原方法解答：（1）略 解：如图，作 EH⊥AD 于 H，EQ⊥BC 于 Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形 EQDH 是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1： ，∠CAB=90°， ∴∠B=30°． 在△BEQ 中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B= EQ 1 ， BE 2 ∴EQ= 1 BE． 2 在△AEH 中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH= EH 3 ， AE 2 ∴EH= 3 AE． 2 ∵点 E 为 AB 的中点，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH= 1 2 BE： 3 AE=1： ． 2 该方法采用了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线， 构造相似三角形，并且证明四边形 EQDH 是矩形． 下面赏析四点共圆方法解（2）： C D G F A E B 解：连结 GF,DE ∵在△ABC 中，∠CAB=90° AC：AB=1： ∴∠CBA=300 ∵AD⊥BC ∴△BAD 是直角三角形 ∵点 E 为 AB 的中点 ∴DE=BE ∴∠EDB=∠CBA=300 ∵EF⊥CE，AD⊥BC， ∴四边形 DGEF 对角互补 ∴D、G、E、F 四点共圆 ∴∠FGE=∠FDE=300 ∴EF：EG=tan∠FGE=1： 例 2（2013呼和浩特）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P，交边 CD 于点 F， 的值为 ； 求证：AE=EP； 在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在， 请给予证明；若不存在，请说明理由． 原方法分析：第（2）题在 BA 边上截取 BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由 AB=CB，BK=BE，得 AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE ≌△ECP，于是结论得出； 原方法解答：（1）（3）略 证明：在 BA 边上截取 BK=NE，连接 KE， ∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP 平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC， 易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE 和△ECP 中， ， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP； 该方法采用了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性