现代分析基础结课作业——Hilbert空间性质介绍.docVIP

PAGE / NUMPAGES Hilbert空间性质介绍 摘要 在这篇文章中，主要是为了介绍Hilbert空间的一些性质，并且把线性分析中各个空间的性质进行了描述，这也是为了更好的描述Hilbert空间及其性质做好基础，并且把各个空间的性质关系进行了讲述，总结了在线性分析基础这门课程中的收获与感悟。 引言 学习了线性分析基础的课程之后，我对于空间的理解有个更加深刻的认识，同时也对各种空间的应用与关系有着许多的困惑与不解，老师的课程十分精彩，介绍了许多原来没有接触过的知识，同时我感觉到了线性分析基础这门课程的重要性。 在接下来的文章中，我们主要想对Hilbert空间及其性质进行介绍，在介绍Hilbert空间之前，必须把Hilbert建立的基础进行描述，甚至文章的一大部分都在描述可测空间、测度空间、赋范线性空间和Banach空间等，但是这些空间的性质也在Hilbert空间中得以体现，可以认为Hilbert空间是这些空间基础上比较特殊的一类空间，它在满足这些空间所具有的性质的同时也有着自己特殊的性质以及应用。Hilbert空间是在一个复向量空间H上的给定的内积并导出一种范数，如果其对于这个范数来说是完备的，那么这个复向量空间就是 希尔伯特空间。这里已经说明了 希尔伯特空间是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念），可以根据它的特点和性质来进行扩展，得到我们想要得到的可以加以利用的空间。另外，希尔伯特空间还是一个完备的空间。在下面的文章中，我们将详细的对所学的知识进行整理和阐释。 关键词 可测 测度空间 范数 完备性 Banach空间 内积空间 Hilbert空间 1.可测空间及其性质 首先我们要对拓扑空间进行一定的了解。 假设X是一个集合，如果有一个子集族，我们定义为τ，满足以下的几点性质：（1）.空集?和集合是在子族集当中。（2）在这个子集族τ内的元素满足交运算封闭。(3) τ中元素族集的并运算封闭。那么我们称τ为X上的一个拓扑，称为拓扑空间，而τ中的元素成为拓扑的开集，在中，如果一个集合是这个开集的余集，那么称为闭集。当开集中的包含一个中的元素x时，称做点x的邻域。在这里我们必须要注意一点，那么就是并的运算因子可以是任意多个，但是交运算的只能是有限多个，因为有限多个开集的交一定还是开集，但无限多个开集的交可能结果并不是开集。 在很多的时候，我们都会考虑量度的问题。那么怎么定义什么是可量度的什么是不可量度的呢，我们比较关心前面的一个问题，只要把我们关心的可以量测的东西取出来就好了。这就是我们要考虑的可测性了。 接下来我们了解一下可测空间的定义。 仍然假设集合，我们先了解 环的定义：如果X中的一些元素构成的非空族合集为,内部的元素满足加减的运算封闭（也即为对可列交可列并运算封闭，并包含?），那么我们称为的环。当加上一个增强条件，满足中的族合元素包括满集的时候，我们就称为一个代数，这样，的元素就称为X的可测集，（，）称为可测空间。这里，我们应当知道可测空间的二元组的是代数，是包含X在其中的，所以它也有取余运算封闭的性质。 而可测函数的定义则是如下;当有两个拓扑空间， 的时候，函数是从到的内部映射，若对的每一个开集，那么（）是中的开集，那么就称是连续的。当是可测空间的时候，函数是从到的内部映射，若对 的每一个开集，那么（）是中的可测集，那么就称是可测的，特别的，当是实数集的时候，是可测函数。 可测函数具有以下的性质：设、、 是3个拓扑空间，、分别是从到和从到的内部映射，并且是连续的，那么（a）是连续的， =·是从到的内部映射，并是连续的；（b））是可测的， =·是从到的内部映射，并是可测的。可测函数还有其它的很多性质，这里就不多做介绍。 2.度量空间以及其性质 在定义了可测空间之后，我们要考虑另外一个重要的性质，就是在可测的空间定义出来之后我们怎么对它们进行定义量度。 因此接下来要了解测度的定义：测度是定义在可测空间上的一个非负的函数，另外，既然为测量所用的，那么必须满足其中的逻辑,首先，空集?的测度为零，测度为零的也必是?，另外，必须满足互不相交的集合的可列可加性，这一点也很好理解，多个可测的集合并且它们之间没有交集，那么它们相加的集合的测度一定是等于每个集合的测度相加。 测度是在可测集合上定义的，称为测度空间，这里的 即为测度，只要满足上述的要求，可以根据我们的要求来进行定义，但是要注意的取得太大可能导致我们取不到合适的测度。因此在这里我们还比较关心的的有Borel集的测度， 是内最小的代数。 注意测度空间是三元组而可测空间是二元组，而可测性与测度也是两个不同的概念，可测性是可以确定的，测度则是可以根据我们的使用来进行定义的。 举一个比较简单的例子来