应用四点向量定理与斯坦纳定理解题（参考模板）.doc

PAGE / NUMPAGES 应用四点向量定理与斯坦纳定理解题 浙江省桐乡第二中学 范广法 314511 sdhzmdq@163.com 一、四点向量定理与斯坦纳定理 对向量,有，从而,，.这样数量积仅用四边形ABCD的四条边AB, BC, CD,AD的长度表示，向量夹角余弦值这类式子不再充斥在表达式中．文[1]将“”称之为四点向量定理．考虑到ABC D四点的顺序，笔者的记忆方法是数量积等于.设直线所成的角为，则，文[2]称“”为斯坦纳定理． 二、定理的应用 1求数量积 例1 在△中，.若点满足，则 . 解析 由四点向量定理得,右边只有不知. 即，又，从而，. 图1 点评 由四点向量定理 图1 变式1 如图1，在三棱锥中D-ABC中，已知AB=2，=-3. 设AD=a，BC=b，CD=c，则eq \f(c2,ab+1)的最小值为 . 变式2 在△ABC中，AB＝2，AC＝4，点P为线段BC的垂直平分线上的任意一点，则＝ . 2判断直线是否垂直 由四点向量定理或斯坦纳定理得：成立的充要条件是．意即平面（或空间）四边形两对角线垂直等价于两组对边的平方和相等． 例2（2012年浙江高考）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中， 图2A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 图2 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ? 解析 在矩形ABCD沿直线BD翻折过程中，四边及对角线的长度中只有在变化．当没有折叠时最长，这时；当折叠时最短，这时（可由平面几何知识并结合图2推证），从而．对选项A, ，显然直线AC与直线BD不垂直；对选项B, ,所以当时直线AB与直线CD垂直，故选B． 点评 此题是借折叠问题考查空间想象能力及逻辑推理能力的压轴题，难度较大．但用四点向量定理则将垂直关系转化为数量积问题，这样就转化成计算问题，问题简单多了．对于选项A，我们可得到任意的四边形在沿对角线折叠过程中的一个不变量，即两对角线对应向量的数量积保持不变． 变式3 矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4．将△ABD沿矩形的对角线BD折起到△的位置，在空间四边形中,异面直线与所成角的最大值为( ) A． B． C． D． 3求两直线所成的角 空间角能较好的集中考查学生的空间想象能力(特别是与翻折问题结合在一起),也是历年来高考必考的热点与难点之一．借助于四点向量定理、斯坦纳定理我们可以解决空间角（本文仅涉及两条异面直线所成的角、二面角）大小问题． 图3 例3（2015年浙江高考）如图3，在三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 图3 解析 易求得，设直线AN，CM所成的角为，则 ． 点评 若用几何法，则要充分挖掘各线的位置及数量关系，添加辅助线，找到平面角，然后再计算．根据四点向量定理、斯坦纳定理仅要解决的长度即可，有效降低试题难度，比几何法简单多了． 变式4 在四棱锥M-ABCD中，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角． 例4（2016年浙江高考）如图4，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3， CD＝1 , AD＝，．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是______． 图4解析：由四点向量定理得：，即．设与的夹角为(显然为锐角，即异面直线与所成角也是)，则，当最小时，与所成角的余弦值最大.又即，所以在翻折过程中的最小值为(此时△ACD沿直线AC翻折)，的最大值为． 图4 图5点评 此题以四点向量定理、斯坦纳定理及上面提到的不变量（）为背景，考查了线线角，向量夹角及函数思想．只要得到，与的函数关系立刻就显现出来，的最大值就不攻自破．与传统作辅助线方法相比，难度与计算量都下降了很多． 图5 变式5（2015年10月浙江学考）如图5，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 求二面角 图6下面再来看看用四点向量定理如何求解二面角 图6 例5（2015年浙江高考）如图6，已知△ABC