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西南财经大学省级精品课程《经济管理数学分析》课题组版权所有请勿外传经济管理数学分析第七章 实数的完备性(简介)§1 关于实数完备性的基本定理经济管理数学分析 第七章实数的完备性§1 关于实数完备性的基本定理第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理一 区间套定理{}定义1(P165) [a,b]设闭区间列具有如下性质:nné=i)[a,b][a,b],n1,2,;(L++nnn1n1-=(ii)lim(ba)0,nn?￥n{}[a,b]，则称为闭区间套简称区间套.nn 注 定义1表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即闭区间的端点满足不等式:例如(补充)：第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理定理7.1 (区间套定理,P165){}x[a,b],若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点nnx?=即[a,b]，n1,2,.使得Lnn￡x￡=ab,n1,2,.Lnn几何意义 区间套定理的几何意义是: 有一列闭线段(两个端点也属于此线段)，后者被包含在前者之中，并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点.x·第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理{}证a由区间套定义知，为递增有界数列n{}￡x=xa1,2,.且有，naL依单调有界定理，有极限，nn{}b(ii)同理,递减有界数列也有极限,并按区间套的条件有n==x3x=limblima,且b1,2,.，nLnnn?￥?￥nn￡x￡=ab1,2,.从而有，nLnnx.下面证明满足题设条件的是唯一的x￡x￡=ab,n1,2,,设也满足Lnn(ii)由区间套定义得x-x￡-=ba,n1,2,.则Lnnx-x￡-=lim(ba)0,则nn?￥nx=x.故有第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理推论(P166)第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理 注 (1)定理7.1中需闭区间才能确保结论成立，如 ，若有，应为0，但 *(2)(补充)若 为严格开区间套: 即则存在唯一一点(3)利用区间套定理证明：先构造区间套，使 ξ 为所求点.第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理区间套定理的应用(定理2.11,P40). 例证明“数列的柯西收敛准则”:{}数列a收敛的充要条件是n-e时有e$a.0,N0,n,mN当anm证[必要性]由数列极限定义,第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理[充分性]按假设，第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理根据P26定义1第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理二 聚点定理和有限覆盖定理 定义2(P166) 设 S 为数轴上的点集，ξ 为定点 (它可以属于 S，也可以不属于 S )，若 ξ 的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点，则称 ξ 为 S 的一个聚点.例如:注聚点概念和下面两个定义等价: 定义2(P167) 对于点集 S，若点ξ的任何ε 邻域都含有 S 中异于 ξ 的点，即 则称 ξ 为 S 的聚点. 定义2(P167) 若存在各项互异的收敛数列 ，则其极限 称为 S 的聚点.第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理定理7.2 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理,P167)实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点.第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理*推论(致密性定理,P39,定理2.10)有界数列必含有收敛子列.第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理 定义3(P168) 设 S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合，(即 H 的每一个元素都是形如 (α,β ) 的开区间). 若 S 中任何一点都含在至少一个开区间内，则称 H 为 S 的一个开覆盖，或简称 H 覆盖 S . 若 H 中开区间的个数是无限(有限)的，则称 H 为 S 的一个无限(有限)开覆盖.定理7.3 (Heine-Borele有限覆盖定理,P168) 设 H 为闭区间 [a,b] 的一个(无限)开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 [a,b] .三 实数完备性基本定理之间的等价性(P169)