六年级上册奥数试题-第7讲：加法原理与乘法原理_全国通用(含答案).docxVIP

第 7 讲 加法原理与乘法原理 知识网络 要完成一个任务，如果能分成 要完成一个任务，如果能分成 r 类彼此独立的不同方式，第一类方式有 种不同的方法 可以完成任务，第二类方式有 种不同的方法可以完成任务，……，第r 方式有 种不同 的方法完成任务。那么完成这个任务就有种不同的方法，这种分类计数的如果完成某项任务要分 的方法完成任务。那么完成这个任务就有 种不同的方法，这种分类计数的 如果完成某项任务要分r 个不同的步骤，第一步有 种不同的方法完成任务，第二步有 种不同的方法完成任务，……，第r 步有 种不同的方法完成任务。那么完成这个任务 就有种不同的方法，这种步骤完成任务的计数方法称为乘法原理。 就有 种不同的方法，这种步骤完成任务的计数方法称为乘法原理。 加法原理、乘法原理以及上一讲的容斥原理是解决计数问题的三个基本原理。应用加法 原理和乘法原理，关键是弄清两者之间的本质区别：如果属于分类考虑，则应用加法原理解 题，如果属于分步考虑，则应用乘法原理解题。如何根据题意分清究竟是分类还是分步，是本讲的难点。 学法指导 在应用这两个原理解计数问题时必须紧紧抓住“分类还是分步”来区分两种原理。除此以外，解决问题常用的方法还有枚举法、对应法、归纳法等，应根据具体问题灵活采用适当的方法。 经典例题 [例 1]如图 1 所示，在 10×10 个边长为 1 的小正方形拼成的棋盘中，求由若干个小方块能拼成的所有正方形的数目。 思路剖析 由小方块所拼成的正方形边长可以取1，2，…，10。这样有十类不同的方式拼出正方 形。下面再计算出每类方式有多少种方法拼出正方形。边长为 1 的正方形显然有 10×10 个； 边长为 2 的正方形，横边有 9 种选择：AC，BD，CE，DF，…，IK。类似的，纵边也有 9 种选择，横边和纵边都选定后正方形就确定了。因此经过两个独立步骤就可以完成拼正方形的任务，由乘法原理可知拼出边长为2 的小正方形有 9×9 个。边长为其他数时可以类似推出。 解答 由乘法原理可得： 边长为 1 的小正方形有 10×10 个； 边长为 2 的小正方形有 9×9 个； 边长为 3 的小正方形有 8×8 个； …… 边长为 9 的小正方形有 2×2 个； 边长为 10 的小正方形有 1×1 个。由加法原理，共有 10×10+9×9+…2×2+1×1=100+81+64+49+36+25+16+9+4+1=385（个） 答：共有 385 个正方形。 [例 2]用红、黄、蓝、绿四种颜色给一个五边形（图2）着色，要求：相邻两边的颜色不同。那么共有多少种不同的着色方法？ 思路剖析 为了方便我们给五边形的各个顶点编上字母。给五边形着色是一边一边地着色，因此完成这个任务要分步进行。第一步先涂 AB 边，有四种颜色可供选择，所以第一步有 4 种方法； 第二步再涂BC 边，有除AC 边颜色以外的三种颜色可供选择，所以第二步有3 种方法；第三步涂CD 边，可以选择与BC 边颜色不同的另外三种颜色，所以这一步也有3 种方法，同理，DE 边也有三种颜色可供选择；在涂AE 边时，它不但要与DE 边不同，还要与AB 边不同，所以要分DE 边与AB 边颜色相同和相异两种不同情况讨论。 解答 AB 边有红、黄、蓝、绿 4 种不同的涂法； BC 边有涂AB 边外的 3 种不同的涂法； CD 边有涂BC 边外的 3 种不同的涂法； DE 边有涂CD 边外的 3 种不同的涂法。 此时，如果DE 边和AB 边外的两种不同涂法；如果DE 边和AB 边颜色一样，则AE 边有有除AB、DE 边外的两种不同涂法；如果DE 边和AB 边颜色一样，AE 边有 3 种不同的涂法； DE 边和AB 边颜色不一样时，由乘法原理有 4×3×3×3×2=216（种）不同的涂法； DE 边和AB 边颜色一样时，由乘法原理有 4×3×3×3×3=324（种）不同的涂法； 最后由加法原理，共有 216+324=540（种）。 [例 3]求由 1、2、3、4、5 五个数字组成的没有重复数字的五位数的个数。如果将它们从小到大排列起来，则 21345 位于第几个数？ 思路剖析 要得到由 1、2、3、4、5 组成的五位数，只需用五个步骤。第一步从五个数字中选一个放在个位上，有5 种选法；第二步从剩下的四个数中选一个放在十位上，有4 种选法；依次类推，最后一个数放在万位上。 解答 所求五位数的个数有 5×4×3×2×1=120（个） 以 1、2、3、4、5 作万位数的应该一样多，有 24 个，而 21345 是以 2 为万位数的五位数中最小的一个，所以它应该是第 25 个数。 首先将 5040 分解质因数[例 4]求 5040 首先将 5040 分解质因数 因此 5040 的约数都可以表示成为其中 a