专题14圆与相似三角函数综合问题-2021年中考数学压轴题汇编（解析版）.docx

PAGE2 / NUMPAGES70 专题14圆与相似三角函数综合问题 【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求阴影部分的面积； （3）连结，在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解； （2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解； （3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ，的半径为2， ， ， 如图，连接， 是的直径，， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点，连接， 在中，，， ， ． 【点睛】 此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键． 【例2】（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线； （2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得． 【详解】 （1）， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是的切线； （2）， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得（舍去）， ． 【点睛】 本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键． 【例3】（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，． （1）求证：； （2）设，求的面积（用的式子表示）； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）由矩形性质可得,然后证明即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，根据相似三角形性质得出，则，根据勾股定理得出的值，运用三角形面积公式表示即可； （3）记与圆弧交于点，连接，证明，即可得出，求出的值，过作于，过作于．运用等面积法得出，根据勾股定理得出，代入数据联立的值，解方程得出，，设，则，根据相似三角形性质即可得出结论． 【详解】 解：（1）∵四边形为的内接矩形， ∴，过圆心，且． ∵, ∴, 又∵是的切线，故， 由此可得， 又∵与都是圆弧所对的圆周角， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由，，则， 由题意． 由（1）知，则， 代入，，， 可得，解得． 在直角中，， 所以； （3）解：记与圆弧交于点，连接． ∵，，， ∴． 又，所以， ∴． ∴，故． 由（2）知，由，，则， 由题意可得， 代入数据，，， 得到，解得①． 过作于，过作于． 易知． 由等面积法可得， 代入数据得，即． 在直角三角形中， ．② 由①②可得，得， 解得，（舍去）． 所以，． 由，故，故． 设，则，代入得， 解得，即的长为． 【点睛】 本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键． 【例4】（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点． （1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值． 【答案】（1）相切，见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论． （2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论． 【详解】 解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°， ∴AP＝＝