经济数学基础讲义第3章导数应用.pdfVIP

第 3 章 导数应用 ３.1函数的单调性 从这一讲开始讲第３章导数应用．在上一章的总结中指出,导数是特别重要的，不仅在 本课程中有很多应用,而且在将来的工作中也有很多应用. 这一章中,主要讲导数在两方面的应用: 1．导数在研究函数时的应用 2．导数在经济中的一些应用 股市及股市曲线 在生活中,随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注 股市曲线,关心在哪一段时间股市在上升,哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰 值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少? 生产场景及生产曲线 在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高． 在下两节中就是要讨论这个问题． 单调性判别 下面首先讨论 3.1 函数的单调性． 什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自 变量的增加,函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加,函数值却在减少， 叫做单调减少的．从函数本身或图形,都能判断函数的单调性,但有时还需要用导数工具判别 单调性. y x ２ 先考察 ＝ ，它的图形是抛物线. x x 在 0 处,函数单调上升;在 0 处,函数单调下降． x x 当在 0 这一边的每一点处都有切线时,切线的特征是：切线与 轴正向的夹角一定小 于 90 ． 当在 x ＜ ０ 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角 一定大于９０ . y 2x 当x 0时，y 2x 0 当x0时，y 2x0 y f x a b a b 定理 设函数 = ( )在区间[ ， ]上连续,在区间 ( ， )内可导. x a ｂ f  x f ｘ a b (1） 如果 ( ， ）时, （） ０，则 ( )在[ , ]上单调增加 ; x ａ ｂ f  x f x a b (2) 如果 ( , )时, ( ） ０，则 ( ）在[ ， ]上单调减少． 意义：利用导数的符号判别函数的单调性. 说明: ａ b ａ b  ｂ a  闭区间[ , ］换成其它区间,如( , ），(- , ］,( , + ). y f x 使定理结论成立的区间，称为 ＝ ( )的单调区间. y f ｘ a b a b 定理３.1 设函数 ＝ ( )在区间[ , ]上连续，在区间( , ）内可导． ｘ a b f  x  f ｘ a b (1) 如果 ( , )时, ( ) ( ) 0，则 ( ）在[ , ]上单调增加（不减) ; x a ｂ f  ｘ  f ｘ a b (2） 如果 ( , ）时, ( ) ( ) 0，则 ( )在[ , ]上单调减少 (不增) .