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欢迎阅读 § 11.5 数学归纳法 (时间：50 分钟 满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是 ( ) 假设 n＝k(k∈N )，证明 n＝k＋1 命题成立 ＋ 假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋1 命题成立 假设 n＝2k＋1(k∈N )，证明 n＝k＋1 命题成立 ＋ 假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋2 命题成立 ＋ ＋ ＋…＋2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1 1 1 1 n(n∈N*，n1)”时，由 n＝ ＋ ＋ ＋…＋ 2 3 2n－1 k(k1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项数是 ( ) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 3．(2011·巢湖联考)对于不等式 n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当 n＝1 时， 12＋11＋1，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 k2＋kk＋1，则当 n＝k＋1 时， ?k＋1?2＋?k＋1?＝ k2＋3k＋2 ?k2＋3k＋2?＋?k＋2?＝ ?k＋2?2＝(k＋1)＋1， ∴当 n＝k＋1 时，不等式成立，则上述证法 ( ) A．过程全部正确 B．n＝1 验得不正确C．归纳假设不正确 D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确 用数学归纳法证明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被 9 整除”，要利用归纳假设证 n＝k ＋1 时的情况，只需展开 ( ) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13 ＋ ＋…＋ (n≥2，n∈N*)的过程中，由 n＝k 递推 n＋1 n＋2 2n 14 到 n＝k＋1 时不等式左边 ( ) 增加了一项 1 2?k＋1? 增加了两项 1 、 1 2k＋1 2k＋2 增加了 B 中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对 二、填空题(每小题 4 分，共 16 分)  1 k＋1 欢迎阅读 欢迎阅读 6．(2011·淮南调研)若 f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则 f(k＋1)与 f(k)的递推关系式是 ． 观察不等式：11 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2,1 1 1 1 5 2， ＋2＋31,1＋2＋3＋…＋72， ＋2＋3＋…＋15 由此猜测第 n 个不等式为 (n∈N*)． ＋2＋3＋…＋312，…， 8．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第 60 个数对是 ． 9．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有 n(n∈N*)行，在这些数中非 1 的数字之和是 ． 三、解答题(共 3 小题，共 34 分) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 10．(本小题满分 10 分)试证：当 n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9 能被 64 整除． 11．(本小题满分 12 分)已知数列{a }的各项都是正数，且满足：a ＝1，a 1 ·(4－a )(n n ∈N)． a a n证明： 2( ∈N) a a n n n＋1 0 n＋1＝2an n b12．(本小题满分 12 分)(2011·开封调研)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn， b an＋1 成等差数列，bn ，an 1 ，bn 1 成等比列(n∈N*)，求 a ，a3 ，a4 与 b2， 3 ，b4 的值，由 ＋＋2此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论． ＋ ＋ 2 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1． 解析：A、B、C 中，k＋1 不一定表示奇数，只有 D 中 k 为奇数，k＋2 为奇数． 答案：D 2． 解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k. 答案：C 3． 解析：在 n＝k＋1 时，没有应用 n＝k 时的假设，不是数学归纳法． 答案：D 4． 解析：假设当 n＝k 时，原式能被 9 整除，即 k2＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除． 当 n＝k＋1 时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3 展开，让其出现 k3 即可． 答案：A 5． 2 k21 1 1 1 1 1 2 k 2 1 k3