高中数学(新教材)《数学建模活动——周期现象的描述》导学案.docxVIP

新教材?数学 必修?第三册[B] 发现问题 提出问题 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到 0.001)； 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米，安全条例规定至少要有 米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若某船的吃水深度为 4 米，安全间隙为 1.5 米，该船在 2：00 开始卸货， 吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析问题 建立模型 观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性．根据表中的数据作出图像(这个图像称为散点图)，如图 1.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 的函数来刻画，其中 x 是时间，y 是水深．根据数据可以具体确定 A，ω，φ，h 的值． 新教材?数学 必修?第三册[B] 确定参数 计算求解 以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图 1)． 根据图像，可以考虑用函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应 关系．从数据和图像可以得出： A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0； 2π π 由 T＝ ω ＝12，得 ω＝6. π 所以，这个港口的水深与时间的关系可用 y＝2.5sin6x＋5 近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 模型评价 模型应用 货船需要的安全水深为 4＋1.5＝5.5(米)，所以当 y≥5.5 时就可以进港． π 令 2.5sin6x＋5＝5.5， sinπ  0.2. 新教材?数学 必修?第三册[B] 6x＝ 由计算器可得 MODE MODE 2 SHIFT sin－1 0.2 ＝ 00.2014. π 如图 2，在区间[0,12]内，函数 y＝2.5sin6x＋5 的图像与直线 y＝5.5 有两个 π π 交点 A，B，因此6x≈0.2014 或 π－6x≈0.2014. 解得 xA≈0.3846，xB＝5.6154. 由函数的周期性易得： xC≈12＋0.3846＝12.3846， x≈12＋5.6154＝17.6154. x D 因此，货船可以在 0 时 30 分左右进港，早晨 5 时 30 分左右出港；或在中午12 时 30 分左右进港，下午 17 时 30 分左右出港．每次可以在港口停留 5 小时左右． 设在时刻 x 货船的安全水深为 y，那么 y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图像，可以看到在 6～7 时之间两个函数图像有一个交点(图 3)． 通过计算也可以得到这个结果．在 6 时的水深约为 5 米，此时货船的安全水深约为 4.3 米；6.5 时的水深约为 4.35 米，此时货船的安全水深约为 4.15 米；7 新教材?数学 必修?第三册[B] 时的水深约为 3.75 米，而货船的安全水深约为 4 米．因此为了安全，货船最好在 6.5 时之前停止卸货，将船驶向较深的水域． 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或计算器．