矿大02高代分析和总结.pdfVIP

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2022-03-15 发布于上海
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矿大02高代分析和总结.pdf

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中国矿业大学2002年硕士生招生入学考试试题考试科目：高等代数注[1]：参加统考的考生做第一、二、三、四、五、六、七、八、九题；参加单独考试的考生做第一、二、三、四、五、六、七、八、十题注[2]：试卷中R表示实数域          一. 设多项式f x R x ,如果对a,bR,均有f ab f a f b ,证明:必存在   kR ,使f x kx. 二. 设n2,设p ,p ,,p 是任意个互不相同的素数,证明:n n p p p 必不是有理数. 1 2 n 1 2 n     n 三. 设矩阵A a ,n2,证明:线性方程组AX  对任意 R 都有解的充分必要 ij nn 条件是行列式A 0.   A a ,n2 A 四. 设矩阵 ,如果的每行元素之和都为零,即: ij nn a a a 0,i1,,n i1 i2 in A (1) 求的一个特征值与一个特征向量. (2) 证明:对任意正整数k,Ak 的每行元素之和都为零. a b    a b   1 1 五. 设M  a,b,c,dR ,L a,bR ,A ,         c d  b a  0 0 L M L (1) 证明: 是实线性空间的子空间,并求的一个基底与维数; (2) 作线性变换T:M M   X T X AX T KerT 求线性变换的核 ; L KerT (3) 与是否同构?证明你的结论. n   n V,V R n2 ,V V R 六. 设都是的子空间必是的子空间吗?如果必是,证明之;否则, 1 2 1 2 举出反例. n2 n A A A2 A A 七. 设 ,设阶矩阵满足 ,求的最小多项式,并证明必可对角化.      , ,, V a,bV, a,b a,b 八. 设是欧氏空间的一个基底,对表示的内积, 1 2 n   