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几何空间 一　空间直角坐标系 空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广。每点由三个有序实数确定P（x, y, z）. 两点间的距离为： 定比分点公式为： 其中λ为P分线段P1P2的定比，即P1P＝λPP2. 二 方向余弦与方向向量 有向线段：以P1为始点，P2为终点的线段，它与三个坐标轴正向的夹角称为方向角；方程角的余弦值称为方程余弦。其计算公式为： 且满足 直线的方向向量｛A，B，C｝： 其中α，β，γ　是直线上某个有向线段的方向角。若｛A，B，C｝是直线的方向向量，则｛kA, kB, kC｝也是。这时直线的方向余弦为 　　 两直线L1，L2的夹角为： 其中和分别是L1，L2的方向向量。 平行于L2其中若分母为0，则相应的分子也为0。 三　平面与空间直线 平面的点法式方程： 其中是平面上一点，｛A，B，C｝是平面的方向向量。 由于同时垂直于平面内两相交直线的直线即为平面的法线，所以一般都可以求平面的点法式方程。 平面的一般式方程：　 （A，B，C不同时为0），｛A，B，C｝是平面法线的方向向量。 在平面的一般式方程中 平面过原点 平面平行于x轴 平面过x轴 平面平行于xoy坐标面为常数） 其它类似，故从略。 求平面的一般式方程时，可用待定系数法；也可先求其点法式方程，再化为一般式方程。 直线的对称式方程（或点向式）方程： 其中为直线上一定点，为直线的方向向量。 由立体几何知识，直线通常可求其对称式方程；由于点、向的不唯一，所以直线的对称式方程也不唯一。 直线的一般方程：两相交平面的交线。 直线的对称式中只有两个独立的等式（若某分母为0，则分子为0），联立即得一般式方程；反之，由于直线与两相交平面的法线垂直，故可从直线的一般式求得直线的方向数。另外，令直线的一般式中某变量为0，解出另两个变量的值即得直线上一点，故可从直线的一般式方程可求得其对称式方程。 两平面平行的充要条件是其法线的方向向量成比例。即 两平面垂直的条件是其法线垂直。即 直线L与平面p平行的充要条件是直线与平面的法线垂直。即 直线L与平面p垂直的充要条件是 题型归纳 例1　已知空间中两点。求 1．｜P1P2｜；　　　2.　的方向余弦；　　 3.　直线的方向向量。 解：1. 2. . 3. 方向数为 例2　已知平面过，与平面垂直且与直线 平行。求该平面的方程。 解：方法一：先求法式方程 设该平面的法线的方向数为，则由题意得， ，解得。 所以所求平面的点法式方程为， 化为一般式为： 方法二：待定系数法 设平面的一般方程为不全为0）。 由平面过点得：　　　　　　　（1） 由另两条件得：　　　　　　　　　　　　　　　（2） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3） 联立（1），（2），（3）并解得。 故所求平面的方程为： 　　注：因平面的一般式方程中的系数为其法线的方向数，所以这两种方法实质上是一样的。 例3　求过点且与直线平行的直线的标准方程。 　　解：先从一般式方程中求已知直线的方向数。 设其方向数为则 　　　　　，解得。 故所求直线的对称式方程为： 注：在已知直线的一般式方程中，令得， ，解得从而求得直线上一点为 故可化已知直线的一般式方程为标准方程为：