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第六章 曲线与曲面 ; 曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。 1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程； 1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为必威体育官网网址的原因而没有公布； 1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面； 1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法； 1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的 Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)； 1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。;有一空间点A，从原点O到A点的连线表示一个矢量，此矢量称为位置矢量。 空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空间曲线是空间动点运动的轨迹，也就是空间矢量端点运动形成的矢端曲线，其矢量方程为：;r(t2);1.曲线的矢函数求导 设当参数 变为 时，矢函数对应的位置由 变为 ，线段对应的矢量差为： 其变化率为 当 时，这个矢量的极限叫做c(u)的一阶导矢，记为 或：;又设 因为 所以 矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。矢量 的方向平行于割线MM1；当 时， 就转变为M(u)点的切线矢量，故又称导矢为切矢。 ;2．曲线的自然参数方程 设在空间曲线C(u)上任取一点 作为计算弧长的初始点，曲线上其他点 到M0之间的弧长s是可以计算的（如用弧长积分公式或累计弦长公式），这样曲线上每个点的位置与它的弧长之间有一一对应关系。以曲线弧长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数：;3．曲线的法矢量 设空间曲线的自然参数方程为C=C(s)，曲线的切矢为单位矢量，记为T： 因为 ，对左式求导，得到： 说明 垂直，鉴于 不是单位矢量，可以认为：; 单位矢量N(s)定义为曲线的主法线单位矢量，简称主法矢；主法矢N(s)总是指向曲线凹入的方向；而k(s)是一标量系数，称为曲线的曲率，而矢量 称为曲率矢量，其模就是该曲线的曲率： 记 ， 称为曲率半径。 令垂直于T和N的单位矢量为B，称此矢量为此法线单位矢量或副法线单位矢量： 由切线和主法线所确定的平面称为密切平面；由主法线和副法线组成的平面称为法平面；由切线和副法线构成的平面称为从切面。;法平面;4． 曲面的切矢和法矢 空间曲面采用双参数表示： 当 为常数时，上式变成单参数 的矢函数，它是曲面上的空间曲线，我们称它为 线； 当 为常数时，上式变成单参数 的矢函数，它是曲面上的空间曲线，我们称它为 线； 将矢函数对u求导，得切矢： 切矢的方向指向参数 增长的方向。;;同样，将矢函数 对V求导，得切矢： 切矢的方向指向参数v增长的方向。;5．参数表示的优点;5)便于采用规格化的参数变量 如：区间 [a,b] 可由区间 [0,1]通过仿射变换得到 ,若 : 仿射变换关系为： 直线上的插值点可用以下两式表示 6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算。 ;6．?? 插值、逼近和拟合;7.曲线段间的连续性定义 ;6.1 曲线和曲面的表示;对于参数曲线段 若:1) 则 在P处具有 连续； 2) 在点P处重合，且在点P处的切矢量方向相同，大小不相等，则 在点P处具有 连续； 3) 在点P处重合，且在P点处的切矢量方向相同