专题训练14 正方形综合问题 初中数学人教版八年级下册（2022年）.docx

专题训练14 正方形综合问题 1．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC （1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点； （2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=42，求PF 【分析】（1）由△ADF≌DCE，推出DF＝CE，由EC=12BC，BC＝DC，推出DF=12DC，即可证明 （2）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠APD＝∠DPF＝90°， ∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°， ∴∠DAF＝∠EDC， 在△ADF和△DCE中， ∠DAF=EDC∠ADF=∠C ∴△ADF≌△DCE（AAS）， ∴DF＝CE， ∵EC=12BC，BC＝ ∴DF=12 ∴F点为DC的中点； （2）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN， ∵∠AFD＝∠DEC， ∴∠CEN＝∠CFP， 又∵E，F分别是BC，DC的中点， ∴CE＝CF， ∵在△CEN和△CFP中 CE=CF∠CEN=∠CFP ∴△CEN≌△CFP（SAS）， ∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF， ∵∠PCF+∠BCP＝90°， ∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°， ∴△NCP是等腰直角三角形， ∴PN＝PE+NE＝PE+PF=2 ∴PF=2PC? 2．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）若四边形AECF的面积为12． ①正方形ABCD的面积是　24　； ②当FG＝2时，求EG的长． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBF＝90°，根据余角的性质得到∠BFC＝∠AEB，于是得到结论； （2）①根据全等三角形的性质得到S△ABE＝S△BCF，推出S四边形AEGF＝S△BGC，于是得到S△BCE＝12，即可得到结论； ②设CG＝x，则BE＝CF＝x+2，根据三角形的面积公式列方程得到x＝4，根据勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠CBF＝90°， ∵BE⊥CF， ∴∠ABE+∠AEB＝∠ABE+∠BFC＝90°， ∴∠BFC＝∠AEB， ∴△ABE≌△BCF（AAS）； （2）解：①∵△ABE≌△BCF， ∴S△ABE＝S△BCF， ∴S△ABE﹣S△BFG＝S△BCF﹣S△BFG， ∴S四边形AEGF＝S△BGC， ∵四边形AECF的面积为12， ∴S△BCE＝12， ∴正方形ABCD的面积是24， 故答案为：24； ②设CG＝x，则BE＝CF＝x+2， ∵S△BCE=12BE?CG=12 解得x＝4， ∴CG＝4， ∵正方形ABCD的面积＝24， ∴BC=24 由勾股定理求得BG=22 ∴EG=6?22 3．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F． 猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明． 【分析】这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC＝PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF＝∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，证明∠CPF＝90°即可． 【解析】（1）PC＝PE，PC⊥PE 证明∵点P位于AE的垂直平分线上， ∴PA＝PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB， ∵PD＝PD， ∴△ABP≌△CBP （SAS） ∴PA＝PC， ∴PC＝PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP， ∵PB＝PB， ∴△ADP≌△CDP （SAS）， ∴∠PAD＝∠PCD， ∵PA＝PE， ∴∠PAD＝∠E， ∴∠PCD＝∠E， ∵∠PFC＝∠DFE， ∴△CPF∽△EDF， ∴∠CPF＝∠FDE， ∵四边形ABCD是正方形， ，∴∠ADC＝90°， ∴∠FDE＝90°， ∴∠CPF＝90°， ∴PC⊥PE． 4．如图，在△AFE中，∠FAE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在 AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M． （1）求证：△ABF≌△ADM； （2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长； （3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠FAB，求证：四边形AGMD是矩形． 【分析】（1）由“ASA“可证△ABF≌△ADM； （2）由全等三角形的性质和勾股定理可求CM的长； （3）由“ASA”可证△ADM≌△DAG，可得AG＝DM，可证四边形ADGM是平行四边形，且∠ADM＝9