反常积分分析和总结.pdfVIP

《数学分析》上册教案 第十一章 反常积分 通化师范学院数学系 第十一章 反常积分 §1 反常积分概念 教学目的： 掌握函数作图的一般步骤，能分析初等函数图象性状。 重点难点： 重点与难点为函数图象性态的列表表示法。 教学方法： 讲练结合。 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际 问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分” ，或是无界函数的“积分” ，这便是本章 的主题． 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11— 1) ，要使火箭克服地球引力无限 远离地球，试问初速度 v0 至少要多大？ 设地球半径为 R ，火箭质量为 x( R) ，地面上的重力加速度为 g 。按万有引力定律，在距地 心 r ( R) 处火箭所受的引力为 2 mgR F . 2 x 于是火箭从地面上升到距离地心为 x ( R) 处需作的功为 2 r mgR 2 1 1 R 2 dx mgR ( ). x R r 当 r 时，其极限 m gR只就是火箭无限远离地球需作的 功．我们很自然地会把这极 限写作上限为 的“积分”： 2 2 mgR r mgR R 2 dx rlim R 2 dx mgR. x x 最后，由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使 1 2 mv0 mgR. 2 2 6 用 9 .18( / ) 6.371 10 ( ) g m s R m ，代人，便得 2 11.2( / ). v0 gR km s 例 2 圆柱形桶的内壁高为 h ，内半径为 R，桶底有一半径为 r 的小孔． 试问从盛满水开始打开 小孔直至流完桶中的水，共需多少时间 ? 从物理学知道，在不计摩擦力的情形下，当桶内水位高度为 ( h x ) 时，水从孔中流出的流速 ( 单位 《数学分析》上册教案 第十一章 反常积分 通化师范学院数学系 时间内流过单位截