康托尔集合论.pdfVIP

康托尔集合论 集合论是 19 世纪 70-80 年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基 础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用 N={n ：n 是自然数 } 表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中， 占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无 限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一 个不断延伸的无穷无尽的序列 1，2 ，3 ，…， n ，…就是如此。 ?集合论是数学观念和数学方法上的一次 革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学 家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出 来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力 地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。 康托尔集， 在 1883 年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显着和深刻的性 质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用 一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段 的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法—— 一个无处稠密的完备集的例子。 1 2 康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。将基本区间 [0,1]用分点 ， 与三等分， 3 3 1 2 1 2 并除去中间的开区间（ ， ）。把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（ ， ）， 3 3 9 9 7 8 （ ， ）。然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集 P 与开集 G 0 0 9 9 1 2 1 2 7 8 1 2 7 8 19 20 G = （ ， ）∪（ ， ）∪（ ， ）∪（ ， ）∪（ ， ）∪（ ， ） 0 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 25 26 ∪（ ， ）∪… 3 3 3 3 P 是 G 的补集。 0 0 康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间 [0, 1] 中的点组成。 康托尔三分集的性质及证明 （1） P 是一个闭集，不含有任何区间。 0 这是显然的， G 是任意个开集的并，所以 G 仍是开集， P 是 G 的补集，所以 P 是闭