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初二数学上学期综合复习题答案 1．已知 :如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °，过点 C 作 BC 的垂线 l ，把一个足 够大的三角板的直角顶点放到点 A 处 (三角板和△ ABC 在同一平面内） ,绕着点 A 旋转三角板， 使三角板的直角边 AM 与直线 BC 交于点 D，另一条直角边 AN 与直线 l 交于点 E。 （ 1）当三角板旋转到图 1 位置时 ,若 AC= 2 ，求四边形 ADCE 的面积； (2）在三角板旋转的过程中，请探究∠ EDC 与∠ BAD 的数量关系，并证明 . l l A A E B D C B C N M 图1 备用图 1）解：∵ AB=AC，∠ BAC =90°, ∴∠ ABC=∠ ACB=45°. ∵BC ⊥l ， ∴∠ BCE=90°， ∴∠ ACE=45°， ∴∠ ACE=∠B. ∵∠ DAE= 90°, ∴∠ 2+ ∠CAD =90°。 又∵∠ 1+ ∠ CAD =90 °, ∴∠ 1=∠ 2, ∴△ BAD ≌△ CAE（ASA）。 。 2 分  l ∵S 四边形 ADCE = S△CAE + S ， A △ADC ∴S 四边形 ADCE = S△BAD + S = S . 1 2 E △ADC △ABC 又∵ AC= 2 , B D C N M ∴AB = 2 ， ∴S△ABC =1, 图1 ∴S 四边形 ADCE =1. . .3 分 （2) 解 :分以下两类讨论 : 1 ①当点 D 在线段 BC 上或在线段 CB 的延长线上时，∠ EDC= ∠ BAD ，如图 1、图 2 所示。 如图 1∵△ BAD ≌△ CAE(ASA）， (已证） AD=AE。 又∵∠ MAN=90°， ∴∠ AED =45°. ∴∠ AED =∠ ACB. 在△ AOE 和△ DOC 中，∠ AO E =∠ DO C , ∴∠ EDC =∠ 2。 又∵∠ 1= ∠ 2，  l l A A 1 2 E 1 2 O DB C B D C O M E M N 图 1 图 2 N ∴∠ EDC =∠ 1。 ....5 分 如图 2 中同理可证 ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时， EDC +∠ BAD= 180° ,如图 3 所示。.。.6 分 同理可证△ BAD ≌△ CAE（ ASA）， ∴AD =AE. ∴∠ ADE =∠ AED =45°。 ∵∠ EDC= 45°+∠ A DC， BAD= 180°— 45°—∠ A DC， ∴∠ EDC + ∠ BAD= 180° 。 .7 分 .  N l E A B C D M 图 3 2．已知 :四边形 ABED 中， AD⊥ DE、BE ⊥DE。 (1 ） 如图 1，点 C 是边 DE 的中点 ,且 AB= 2AD= 2BE． 判断 △ABC 的形状： （不必说明理由） ; （ 2) 保持图 1 中 △ABC 固定不变，将直线 DE 绕点 C 旋转到图 2 中所在的 MN 的位置（垂 线段 AD 、BE 在直线 MN 的同侧） ．试探究 线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系？ ．．． 并给予证明 ; 保持图 2 中△ABC 固定不变， 继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（垂 线段 AD 、 BE 在直线 MN 的异侧）．⑵中结论是否依然成立，若成立请证明 ;若不成 立，请写出新的结论 ,并给予证明． D C E C E N N D C M E A B A BA D B 图 1 图 2 M 图 3 ． 2 解(1 ） 等腰直角三角形 1 分 C E N N D E C C 2 1 2 M D 1 1 2 E A B A BA B 图 1 图 2 D M图 3 （ 2) DE =AD BE ; ?????????????????? 2 分 证明 :如图 2,在 Rt△ ADC 和 Rt△ CEB 中 , ∵ 1 CAD=90 , 1 2=90 ， CAD = 2 又∵ AC=CB, ADC = CEB=90 ， Rt△ ADC Rt△ CEB DC =BE,CE=AD ,∴ DC CE=BE AD， ??????????????? 3 分 DE =AD BE (3） DE =BE AD ??????????????????? 4 分 如图 3,Rt△ ADC 和 Rt△ CEB 中， ∵ 1 CAD=90 , 1 2=90 ， CAD = 2， 又∵ ADC = CEB=90 ,AC=CB， Rt△ ADC Rt△ CEB， DC =BE， CE=AD ， ∴ DC CE