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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟582 一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.问题:1. 设A是3阶矩阵，已知A的行列式|A|=-6，A的迹tr(A)=2，且r(A+2E)=2，则A的伴随矩阵A*的特征值为______ A．-2，3，-6．  B．2，-3，6．  C．1，-2，3．  D． 答案:A[解析] 设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，则 由|A|=-6，得λ1·λ2·λ3=-6；由tr(A)=2，得λ1+λ2+λ3=2；由r(A+2E)=2，得λ3=-2．  解方程组得λ1=1，λ2=3． 所以A-1的三个特征值为 则A*=|A|A-1的三个特征值为1×(-6)=-6， 问题:2. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0A.当n＞m时仅有零解．B.当n＞m时必有非零解．C.当m＞n时仅有零解．D.当m＞n时必有非零解．答案:D问题:3. 微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为______．A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+b+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx答案:A[考点] 常微分方程 [解析] 相应的二阶线性齐次方程的特征方程是λ2+1=0，特征根为λ=±i．  由线性方程解的叠加原理，分别考查方程  y+y=x2+1 ①  与  y+y=sinx ②  方程①有特解y*=ax2+bx+c，方程②的非齐次项f(x)=eαxsinβx=sinx(α=0，β=1，α±iβ是特征根)，它有特解  y2*=x(Asinx+Bcosx)  因此原方程有特解  y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)  应选A． 问题:4. 微分方程y+9y=x+cos3x的特解可设为______A.ax+b+x(Acos3x+Bsin3x)．B.x(ax+b+Acos3x+Bsin3x)．C.ax+b+Acos3x．D.ax+b+Asin3x．答案:A[解析] 相应的齐次方程的特征方程λ2+9=0的特征根为λ=±3i． 由线性方程解的叠加原理，分别考察方程  y+9y=x ①  与  y+9y=cos3x ②  显然，0不是特征根，①有特解 注意cos3x=eαx(acosβx+bsinβx)，α=0，β=3，a=1，b=0，α±iβ是特征根，于是②有特解 因此，原方程有特解选A．问题:5. 设f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有，则______A.f(0，0)＞f(1，1)B.f(0，0)＜f(1，1)C.f(0，1)＞f(1，0)D.f(0，1)＜f(1，0)答案:D[解析] 是关于y的单调递减函数，所以有f(0，1)＜f(1，1)＜f(1，0)，故答案选D．问题:6. α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______． A． B． C． D． 答案:C[考点] 非齐次线性方程组解的结构． 根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．  解：根据线性方程组解的性质，可知  2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)  是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为r(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此AX=b的通解为  α1+c(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+c(2，3，4，5)T，  即C选项正确．对于其他几个选项，A选项中  (1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，  选项B中  (0，1，2，3)T=α2+α3，  选项D中  (3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，  都不是Ax=b的导出组的解．所以A、B、D项均不正确．  故应选C． 问题:7. 设δ＞0，f(x)在(-δ，δ)内恒有f(x)＞0，且|f(x)|≤x2，记，则有______．A