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§8.1 欧拉法与梯形法
一阶常微分方程初值问题的一般形式是:
节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h(常数).
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b处的近似值 .
计算方法
计算方法
一、欧拉法
设节点为xk=x0+kh (h=(b-a)/n k=0,1,…n)
方法一 泰勒展开法(将y(xk+1)在xk点泰勒展开)
则可得：
计算方法
方法二 数值微分法
计算方法
方法三 数值积分法
计算方法
计算方法
欧拉法的几何意义：
计算方法
定义
在假设 yi = y(xi)，即第 i 步的计算值是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差.
定义
若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有 p 阶精度.
计算方法
欧拉法的局部截断误差：
欧拉法具有 1 阶精度.
计算方法
二、梯形法
在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的积分用梯形积分公式可得：
计算方法
此即为求解微分方程数值解的梯形法,它是一种隐式格式，具有2阶精度.
计算方法
三、改进的欧拉格式
欧拉法容易计算，但精度较低；梯形公式精度高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得到改进的欧拉格式.
计算方法
上述方法也称为欧拉预估-校正法，也可以表示为下述形式.
计算方法
例1 试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求解下列初值问题：
解：欧拉格式的具体算式为：
计算方法
改进的欧拉格式为：
计算方法
计算方法
改进的欧拉格式的具体算式为：
结果列表如下：
计算方法
xk
欧拉法 yk
欧拉预校 yk
准确解 y(xk)
0.1
1.095 445 115
0.2
1.183 215 957
0.3
1.264 911 064
0.4
1.341 640 787
0.5
1.414 213 562
0.6
1.483 239 697
0.7
1.549 193 339
0.8
1.612 451 550
0.9
1.673 320 053
1.0
1.732 050 808
1.1
1.095 909 091
1.191 818 182
1.184 096 569
1.277 437 834
1.266 201 361
1.358 212600
1.343 360 151
1.435 132919
1.416 401 929
1.508 966254
1.485 955 602
1.580 338238
1.552 514 091
1.649 783431
1.616 474 783
1.717 779348
1.678 166 364
1.784 770832
1.737 867 401
计算方法
欧拉法与改进的欧拉法比较（单击播放）
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