全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题.pdf

2015 年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编 解答题（ 1） ? 1. （2015 年广东 9 分） ⊙O 是△ABC 的外接圆， AB 是直径，过 BC 的中点 P 作⊙ O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D ，连接 AG ， CP ，PB. （1）如题图 1；若 D 是线段 OP 的中点，求∠ BAC 的度数； （2 ）如题图 2，在 DG 上取一点 k，使 DK =DP ，连接 CK ，求证：四边形 AGKC 是平行四边形； （3）如题图 3，取 CP 的中点 E ，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H ，连接 PH ，求证： PH ⊥AB. 【答案】解：（ 1）∵ AB 为⊙ O 直径，点 P 是 ? BC 的中点，∴ PG ⊥BC ，即∠ ODB =90 °. 1 1 ∵D 为 OP 的中点，∴ OD = OP OB . 2 2 OD 1 ∴cos∠BOD = . ∴∠ BOD=60 °. OB 2 ∵AB 为⊙ O 直径，∴∠ ACB =90°. ∴∠ACB =∠ODB . ∴AC ∥PG. ∴∠ BAC =∠BOD =60°. （2 ）证明：由（ 1）知， CD = BD ， ∵∠BDP = ∠CDK ，DK = DP ，∴△ PDB ≌△ CDK （SAS）. ∴CK =BP ，∠ OPB = ∠CKD . ∵∠AOG =∠BOP ，∴ AG=BP. ∴AG =CK . ∵OP =OB ，∴∠ OPB= ∠OBP . 又∵∠ G= ∠OBP ，∴AG ∥CK . ∴四边形 AGCK 是平行四边形 . （3 ）证明：∵ CE= PE，CD =BD ，∴ DE ∥PB，即 DH ∥ PB. ∵∠G= ∠OPB ，∴ PB ∥AG . ∴DH ∥AG . ∴∠OAG= ∠OHD . ∵OA =OG ，∴∠ OAG =∠G. ∴∠ODH = ∠OHD . ∴OD =OH . 又∵∠ ODB =∠HOP ，OB=OP ，∴△ OBD ≌△ HOP （SAS）. ∴∠OHP =∠ODB =90°. ∴PH ⊥AB. 【考点】 圆的综合题；圆周角定 理；垂径定理 ；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性 质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定 . 【分析】（1）一方面， 由锐角三 角函数定义和 特殊角的三角函数值求出∠ BOD =60°；另一方面， 由证明∠ ACB = ∠ODB =90°得到 AC ∥PG ，根据平行线的同位角相等的性质得到∠ BAC= ∠BOD=60°. （2 ）一方面，证明通过证明全等 并等腰三角形 的性质得到 AG=CK ；另一方面，证明 AG ∥CK ，从 而根据一组对边平行且相等的四