黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修2-2同步练习：1.4-生活中的优化问题举例（含答案和解析）.docxVIP

黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修2-2同步练习：1.4-生活中的优化问题举例 1、选择题 设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A. B. C. D. 2 【答案】 C 【解析】 设底面边长为x，侧棱长为l， 则V＝ x2·sin 60°·l， 所以l＝ ， 所以S表＝2S底＋S侧＝x2·sin 60°＋3·x·l ＝ x2＋ . 令S表′＝ x－ ＝0， 即x3＝4V， 解得x＝ . 当0＜x＜ 时，S表′＜0； x＞ 时，S表′＞0. 所以当x＝ 时，表面积最小．选C 2、选择题 如果圆柱轴截面的周长l为定值,则其体积的最大值为( ) A. π B. π C. π D. π 【答案】 A 【解析】 设底面半径为r，高为h，则 ， ，所以 ．选A． 3、选择题 做一个圆柱形锅炉，容积为 ，两个底面的材料每单位面积的价格为 元，侧面的材料每单位面积的价格为 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 设锅炉的高h与底面直径d的比为k= ，运用圆柱的表面积公式和体积公式，结合导数，求得极值点且为最值点，即可得到． 设锅炉的高h与底面直径d的比为k= ， 由V= h= ?kd= kd3， 可得d= ，h=kd= ， 设造价为y，则y=2π?（ ）2?a+πdh?b= ? ? +πb? ? ， 则y′= ? ?（﹣ ） ++πb? ? ， 令y′=0，解得k= ，可得此时y取得最小值． 故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为 ． 故选：A． 4、选择题 某公司生产一种产品， 固定成本为 元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入 与年产量 的关系是 ，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 （ ） A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】 D 【解析】 ∵总利润P(x)＝ 由P′(x)＝0，得x＝300，故选D 5、选择题 已知横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的长和宽分别为 ( ) A. d, d B. d, d C. d, d D. d, d 【答案】 C 【解析】 根据横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比，建立关系．由勾股定理可得x2+y2=d2，利用导函数的性质求出最值． 由题意，设横梁的强度为T，则T=xy2．（x＞0，y＞0） 由勾股定理可得x2+y2=d2， 可得：T=x（d2﹣x2）=xd2﹣x3． 则T′=d2﹣3x2． 令T′=0． 可得：x= 或 （舍去）． 当 时，可得T′＞0，则T是单调递增函数． 当 时，可得T′＜0，则T是单调递减函数． ∴x= 时，T取得最大值，此时y= = ． 故选：C． 6、选择题 内接于半径为 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为（ ） A . 和 B. 和 C . 和 D . 以上都不对 【答案】 B 【解析】 解：如图所示：设矩形ABCD，∠AOB=θ， 由题意可得矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ， 故矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2 R （2 / cosθ+1 / R sinθ）=2 / R R sin（θ+?）， 其中，sin?=2/ R ，cos?=1/ R ．故矩形的周长的最大值等于2/ R，此时，sin（θ+?）=1． 即 （2 / cosθ+1 / R sinθ）=1，再由sin2θ+cos2θ=1可得cosθ=2 5 ，sinθ=1/ ， 故矩形的长为 2R = ，宽为 7、填空题 做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省。 【答案】 4 【解析】 解：设无盖水箱的长，宽 ，高，分别为x,y,z，则xyz=256,那么则有 表面积公式为 ， 问当z为4时，此时表面积最小。 8、填空题 如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 【答案】 【解析】 试题分析：如图，设底面六边形的边长为x，高为d，则 d= （1-x）； 又底面六边形的面积为： S=6? ?X2?sin60°= x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为： V=Sd= x2? （1-x）= (x2-x3)，则对V求导，则 V′= （2x-3x2），令V′=0，得x=0或x= ， 当0＜x＜ 时，V′＞0，V是增函数；当x＞ 时，V′＜0，V是减函数；∴x= 时，V有最大值． 故答案为 。 9、填空题 某商场从生产厂家