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新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结-练习 新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结-练习 PAGE 新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结-练习 第二章：实数 知识梳理 【无理数】 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如： 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2, （5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①、②……、③、④π、⑤、⑥、⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:…,…,-,,其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。 特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A．1的立方根是； B．；（C）、的平方根是； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 （3）的算术平方根是 。（4）若有意义，则___________。 （5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。 （6）（提高题）如果x、y分别是4－ EQ \R(,3) 的整数部分和小数部分。求x － y的值. 平方根： 1.定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做： 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根 例（1）若的平方根是±2，则x= 　 ；的平方根是 （2）当x 时，有意义。 （3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少这个正数是多少 3. （1）（2）中，a可以取任意实数。如 例：1.求下列各式的值 （1） （2） （3） 2.已知，那么a的取值范围是 　。3.已知2＜x＜3,化简 　。 【立方根】 1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是???????????（2）若，则b等于??????????? （3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。 其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【估算】 用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。 方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。 例：估算下列各数的大小 （1） （2） （3） 用估算的方法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大