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单摆周期公式的推导 2010-12-16 14:50 来源： 文字大小：【大】【中】【小】 平动非惯性参考系中单摆的周期问题在一些竞赛题中经常考到， 学生们多是运用等效的 物理思想，求得等效重力加速度 ，代替惯性参考系中在只有重力和摆线张力作用下的单 摆的周期公式 中的重力加速度值 ，从而得到答案。这里的加速度 是指除摆 线的张力外，摆球所受其他力的合力所产生的加速度。下面举两个例子试说明之： 例 以加速度 向上加速的电梯顶上挂一摆线长为 的单摆， 摆球质量为 ，则单摆的周期 为？ 图 解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力 和竖直向下的惯性力 ，如图 1 所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度，为 ， 代替上式中的 ，即得此单摆的周期 。 例 以加速度 向右加速运动的小车顶上挂一摆长为 的单摆，摆球质量为 ，则单摆的周 期为？ 图 解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力 和水平向左的惯性力 ，如图 所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度， 为 ， 代替上式中的 ，即得此单摆的周期 。 上述两例均是从等效原理出发， 找到等效重力加速度代入公式即得。 但很多时候学生往 往不能接受这种等效处理方式， 认为有些牵强。 而且这种做法也的确是机械的代公式求答案， 对学生思维能力的提高并没有提供很好的帮助。 笔者在给竞赛班学生上课时给出了平动非惯性参考系中单摆周期公式的一般性推导， 其 过程如下： 如图 所示， 为惯性参考系， 为相对于 系以加速度 运动的非惯性平动参考系，其中 为 在惯性参考系中的坐标。在 系中，摆球受重力 ，摆线张力 及惯性力 三个力的作用。 如图 ，设摆球在平衡位置时偏离竖直方向 角，摆球在平衡位置时切向力为零 则有方程 又因为 解 得 如图 所示，在 系中，假设摆球任一时刻相对于平衡位置的摆角为 摆球受重力 ，摆线张力 及惯性力 三个力的作用。切向力与 角位移反号，促使小球返回平衡位置。设 为摆角角加速度，则沿摆球运动切向有方程 整理有 即 亦即 把 代入上式，因为 角很小，故取 ， ，则有 令 则 上式即为平动非惯性参考系中单摆的周期公式。 可以验证利用上式解例 、例 所得到的结果和用等效处理所得到的结果是一致的。我 们再看一道例题： 例 如图 所示， 在倾角为 的固定光滑斜面上有一从静止开始下滑的小车，车厢顶上有一 摆长为 的单摆，摆球质量为 ，求此摆的周期。 解：车为非惯性平动参考系，其相对地面沿斜面向下的加速度 ，故