n阶可导不能推出n-1阶导数在邻域内连续.pdfVIP

某点n 阶导数存在不能推出n-1 阶导数在这 个点的某个邻域内连续问题的详细解析。 1 张威 2020 年2 月28 日凌晨 摘要：本文首先通过一个“函数在某点可导，无法推出在这个点的某个邻域内函 数连续”的例子，逐步引出“某点n 阶导数存在能否推出n-1 阶导数在这个点的 某个邻域内连续的问题”。最后给出结论。 1 一个反直觉的反例 我们知道，函数可导必连续，但是f (x) 在x  0 可导，能否说明f (x) 在x  0 的某个邻域内连续呢？答案是否定的，请看下面的例子：  2 x , x是有理数 f (x)   0，x是无理数  显然f (x) 仅在x  0 处连续。并且注意到： f (x)  f (0) f (x) lim  lim  0 x0 x 0 x0 x 因此函数f (x)在x  0可导，   f (0) 0 但是这个例子本身和函数可导必连续并不矛盾，因为这个函数确实在原点是 连续的。 2 引发出新的思考 某点n 阶导数存在能否推出n-1 阶导数在这个点的某个邻域内连续呢？不妨 把这个问题简化一下：f (0) 存在，能否推导出f (x ) 在x 0 某邻域内连续？  2  x , x是有理数 很自然的想法是f (x)   ，但是这样成立吗？这样的函数会有 0，x是无理数  原函数f (x ) 吗？很可惜，这个函数并没有原函数，证明如下： 假设存在可导函数函数f (x ) 并且 1 清华大学计算机系2018 级硕士研究生，zhangwei0514@tsinghua.edu.cn qq：1153414898  2  x , x是有理数 f (x)   0，x是无理数  可知:  2  f (1) 1 1, f ( 2) 0 2 由Darboux 定理 （导数介值定理）： 2 (1, 2), 使得f ()  2 这显然是矛盾的。因为  要么是零，要么是有理数（因为有理数的平方仍 f (x) 然是有理数） 3 联想到泰勒公式 对于2 中的问题，首先联想到前提条件是“函数f (x) 在x  x0 具