概率论与数量统计：第四章 随机变量的数字特征.pptVIP

第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差与相关系数 第四节 矩 协方差矩阵 第一节 数学期望 一、数学期望的概念 三、数学期望的性质 第二节　方　差 一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的期望和方差 第三节 协方差及相关系数 一、协方差 二、相关系数 第四节　矩、协方差矩阵 一、基本概念 第四章　随机变量的数字特征习 题 课 一、重点与难点 二、主要内容 数学期望的性质 方差的定义 方差的计算 方差的性质 3. 协方差的计算公式 证明 4. 性质 ，反之未必成立。 （书例1） 1. 定义 2. 性质 X与Y之间呈线性相关关系，即 即X与Y之间无线性相关关系（可能存在非线性关系） (1) 不相关与相互独立的关系 3. 注意 相互独立 不相关 (2) 不相关的充要条件 （书例1） 例2 结论 一、基本概念 二、n 维正态随机变量 1.定义 2. 协方差矩阵 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究 二、n 维正态随机变量 n 维正态随机变量的性质 线性变换不变性 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 1.重点 数学期望的性质和计算 2.难点 数字特征的计算 方差的性质和计算 协方差和相关系数的性质和计算 数学期望 方 差 离散型 连续型 性 质 协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望 定 义 计 算 性 质 随机变量函数的数学期望 定 义 协方差的性质 相关系数性质 X是离散型r.v. X是连续型r.v. X是离散型r.v. X是连续型r.v. 1. 设C是常数, 则有 2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有 3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有 4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有 则 则 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 2. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 (2) 利用公式计算 其中 X是离散型r.v. X是连续型r.v. 证明 证明 3. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证明 (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 推广 1. 两点分布 已知随机变量 X 的分布律为 则有 2. 泊松分布 则有 所以 3. 二项分布 则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 另解 4. 均匀分布 则有 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 5. 指数分布 则有 指数分布的期望和方差分别为 6. 正态分布 则有 结论 例如 且X，Y相互独立 求 的分布 +1 （Ci不全为零） +b +b 解 例8 分　　布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 契比雪夫不等式 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式也可以写成 得 证明 取连续型随机变量的情况来证明. 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。 利用切比雪夫不等式估计 补例 一、协方差 二、相关系数 1. 问题的提出 协方差 2. 定义 一、数学期望的概念 三、数学期望的性质 二、随机变量函数的数学期望 引例 甲，乙两射击选手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 环数 8 9 10 乙： 环数 8 9 10 　次数 30 10 60 次数 20 50 30 试问如何判定甲，乙两射击选手的技术优劣？ 解： 用平均命中环数进行比较 甲的平均命中环数： 乙的平均命中环数： 故可以认为甲的技术比乙的好。 分析：若设X是命中的环数，则X是一r.v.，它的可能取值为0，1，…，10。上述所求的平均命中环数可看作是r.v.X的观测值（8，9，10）的算术平均值，是以频率（0.3，0.1，0.6或0.2，0.5，0.3）为权数的加权平均。 平均命中环数 频率随机波动 随机波动 随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加 1. 离散型随机变量的数学期望 简称期望