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§13.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验
[ 学习目标 ]
1. 会用 Mathematica求解微分方程（组）；
2. 能用 Mathematica求微分方程（组）的数值解；
3. 会利用 Mathematica进行拉氏变换与逆变换；
4. 能进行幂级数和傅里叶级数的展开。
一、 常微分方程（组）
Mathematica 能求常微分方程 （组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，
功能很强。但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答
案可能在形式上不同。另外， Mathematica求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本
节中，使用 Laplace 变换解常微分方程（组）的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法
如今可以轻而易举的实现了。
求准确解的函数调用格式如下：
DSolve[eqn ，y[x] ，x] 求方程 eqn 的通解 y（x ），
其中自变量是 x。
DSolve[{eqn ，y[x 0]= =y 0} ，y[x] ，x] 求满足初始条件 y （x0 ）= y0
的特解 y （x ）。
1 2
DSolve[{eqn1 ，eqn2，…} ，{y [x] ，y [x] ，…} ，x] 求方程组的通解。
DSolve[{equ1 ，…， y1[x0]= =y 10，…} ，{y 1[x] ，y2[x] ，…} ，x] 求方程组的特解。
说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方
程的表示法只有通过例题才能说清楚。
例 1 解下列常微分方程（组）：
5 2
2 y 2 1 y y z
（1） y ( 1)x ，（2 ） y 3 ， （3 ） ，
x 1 (x x )y z y
y z
（4 ） 的通解及满足初始条件 y （0 ）=0，z （0）=1 的特解。
z y
解： In[1] ：=DSolve[y ′[x]= =2y[x]/ （x+1
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