专题11 圆锥曲线点差法与第三定义讲解（解析版）.docxVIP

PAGE1 / NUMPAGES11 专题11 圆锥曲线点差法与第三定义 【预备知识一】中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） ? 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 【思考】 ①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？ 设，，则， 仍有 ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型． ∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 注：抛物线中同样存在类似性质： 【巩固练习一】 例1 人教A版（2019）选择性必修第一册 习题3.1 P14（拓展探索） 已知椭圆,一组平行直线的斜率是. (1)这组直线何时与椭圆相交? (2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上. 答案 (1)直线与椭圆相交. (2)这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上. 解析 设这组平行线的方程为.把代人椭圆方程, 得,其根的判别式. (1)由, 得.所以当这组直线在轴上的截距的取值范围是 时,直线与椭圆相交. (2)设直线被椭圆截得的线段的中点为,则,其中是方程 的两个实数根.联立和,消去,得.因此当这组直线与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上. 例2 椭圆，求以为中点的弦所在的在直线的方程。 解：设弦的两端点为，则， 两式相减，又，，等式两边同除，可得，则所求方程为. 例3：给定双曲线，过点能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点．这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。 分析：点差法解出．但是将代人双曲线方程得一元二次方程，此方程无实根，故满足题设的直线不存在。 这种题型只要给出曲线方程，和一个定点坐标，利用点差法肯定能计算出以这一点为中点的直线方程。但是如果忽视对判别式的考察．将得出错误的结果．所以解题时一定要注意点差法的不等价性，即考虑判别式大于零。 同时由此题可看到中点弦问题中判断点P的位置非常重要。 (1)若中点P在圆锥曲线内。则被点P平分的弦一般存在； (2)若中点肘在圆锥曲线外．则被点P平分的弦可能不存在． 【补充】，可以理解为AB两点无限接近（极限思想），也可以用椭圆切线方程得到 ? 【预备知识二】第三定义 ? 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现. 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【情景练习】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，， ，， ∵P，A在椭圆上，代入坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的 【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？ 设，，， ，， ① ② 两式相减得：， 整理得 ∴ 法二： 双曲线垂径定理 设， ∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 【巩固练习二】 例1 课本习题 设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点. （1）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程． （2）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程 【答案】（1）点的轨迹是除去，两点的椭圆 【分析】 分析：设点的坐标为，那么直线，的斜率就可用含，的关系式分别表示．由直线，的斜率之积是，可得出，之间的关系式，进而得到点的轨迹方程． 【解析】 设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率同理，直线的斜率 由已知，有 化简，得点的轨迹方程为 ∴点的轨迹是除去，两点的椭圆． （2）同理可得 化简，得点的轨迹方程为 ∴点的轨迹是除去