函数迭代和函数方程(上).pdfVIP

. 函数迭代与函数方程 2 1．函数迭代 ⑴ 函数迭代的定义 设 f : D D （其中D D ）是一个函数，对任意 x D ，记 f (0) (x) x ， f (1) (x) f ( x) ， (2) (3) ( n 1) ( n) f (x) f ( f (x)) ， f f ( f ( f (x ))) ，……， f (x ) f ( f (x)) ，……， 则称 f ( n) ( x) 是函数 f ( x) 在 D 上的 n 次迭代，并称 n 是 f ( n) (x) 的迭代指数． 如果 f ( n) ( x) 有反函数，则记为 f ( n) (x) ，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代 求一个函数的 n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的 n 次迭代 是容易得到的． 若 f (x) x c ，则 f ( n) x nc ， f ( 1) ( x) x c ， f ( n) (x ) x nc ． 1 1 n 若 f ( x) x3 ，则 f ( n) (x) x3 ， f ( 1) (x) x 3 ， f ( n ) ( x) x3 n ． (n ) n b b ( 1) 1 b b 若 f (x) ax b ，则 f (x) a x ， f (x ) x ， 1 a 1 a a 1 a 1 a ( n ) 1 b b f (x ) n x ． a 1 a 1 a ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法 这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数 f (x) 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出 ( n) f (x ) 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数． ②递归法 设 f (x) 是定义在 D 上且取值于 D 的函数，由此定义数列 { an} ： a0 已知，且 a0 D ， ( n)