函数单调性奇偶性经典例题.pdfVIP

. 下面四个结论： ①偶函数的图象一定与 y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于 y 轴对称； ④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x ∈R) ，其中正确命题的个数是 （ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 分析： 偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误． 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确． 若 y=f(x) 既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f(x)=0 ，但不一定 x ∈R，如例 1 中的 (3) ，故④错误，选 A ． 说明： 既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零． 2．复合函数的性质 复合函数 y=f[g(x)] 是由函数 u=g(x) 和 y=f(u) 构成的，因变量 y 通过中间变量 u 与自变量 x 建立起函数关系，函数 u=g(x) 的值域是 y=f(u) 定义域的子集． 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律： (1)单调性规律 如果函数 u=g(x) 在区间［ m，n］上是单调函数，且函数 y=f(u) 在区间 [g(m) ，g(n)] (或 [g(n) ，g(m)]) 上也是单调函 数，那么 若 u=g(x) ，y=f(u) 增减性相同，则复合函数 y=f[g(x)] 为增函数；若 u=g(x) ，y= f(u) 增减性不同，则 y=f[g(x)] 为减函 数． (2)奇偶性规律 若函数 g(x) ，f(x) ，f[g(x)] 的定义域都是关于原点对称的， 则 u=g(x) ，y=f(u) 都是奇函数时， y=f[g(x)] 是奇函数； u=g(x) ， y=f(u) 都是偶函数，或者一奇一偶时， y= f[g(x)] 是偶函数． 1 ［例 1 ］ 已知函数 f(x) 在 ( － 1， 1)上有定义， f ( )= － 1,当且仅当 0x1 时 f(x)0, 且对任意 x 、 y ∈( － 1,1)都有 2 x y f(x)+f(y)= f( ),试证明： 1 xy (1)f(x) 为奇函数； (2)f(x)在 (－1， 1)上单调递减 . 知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想 . x2 x1 技巧与方法：对于 (1) ，获得 f(0) 的值进而取 x= －y 是解题关键；对于 (2) ，判定 的范围是焦点 .