第15课时 对数运算与对数函数反函数定稿版.docxVIP

第15讲 指数函数与对数函数、反函数 【知识梳理】 1、指对数函数的图像与性质 图 像 定义域 值域 单调性 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 过定点 取 值 特 点 当时， ， ， ， ， 当时， 当时， 当时， 2、反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，对于中的任意一个，在中存在唯一确定的与之相对应，这时就称具有反函数，记作 3、反函数与原函数之间联系 ①反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域； ②反函数与原函数的图象关于直线对称，反之也成立.原函数的图象过点，则必有其反函数的图象过点； ③互为反函数的函数具有相同的单调性与奇偶性； ④原函数的图象与其反函数的图象未必有交点，有交点的话，也未必都在直线的图象上（自反函数例外） ⑤函数的反函数还是的条件：； ⑥设函数的定义域为，值域为，且具有反函数，则 ，. 4、求反函数的过程 ①先求原函数的值域；②进行反表示，即用表示，将转化为（涉及到开方时注意符号）；③将反表示后的解析式中互换位置，标注出定义域即可. 【注】单调函数必然具有反函数，反之不成立，如. 【注】函数的反函数一般不是. 【典型例题】 例1、（1）设，则无论实数取何值，的图象恒过定点，则这个定点的坐标为________. （2）设，则无论实数取何值，的图象恒过定点，则这个定点的坐标为________. （3）无论实数取何值，函数的图象恒过一定点，则这个定点的坐标为________. 例2、（1）函数的减区间为_________. （2）函数的增区间为_________. （3）函数为上的减函数，则实数的取值范围为_________. （4）函数在区间上单调递减，则的取值范围为_________. （5）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是_________. （6）已知函数在上为单调增函数，则实数的取值范围为_________. （7）已知函数在上为单调函数，则实数的取值范围为_________. 例3、（1）函数的值域为_________. （2）函数的值域为_________. （3）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为_________. （4）已知若满足：，则函数的值域为_________. 例4、（1）幂函数的图像过点，则函数的反函数 _________. （2）函数的图像经过点，又其反函数的图像经过点，则_________. （3）已知为函数图象上的一个动点，为上的一个动点，则的最小值为_________. （4）对区间上有定义的函数，记，已知定义域为 的函数有反函数，且，若方程有解，则_________. 例5、求下列函数的反函数 ①；②；③；④； ⑤. 例6、判断下列函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）；（8）； （9）. 例7、对于函数. （1）实数为何值时，函数的定义域为？ （2）实数为何值时，函数的值域为？ （3）若的值域为，求实数的取值范围； （4）若在上是增函数，求实数的取值范围. 例8、（1）实数为何值时，方程有一解、两解、无解？ （2）实数为何值时，方程有一解、两解、无解？ 例9、设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，当时，在上的值域是，求实数的取值范围. 例10、定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”． （1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围. 例11、对于定义在区间上的两个函数与，若对任意的，均有不等式成立，则称与在上是“友好”的，否则称“不友好”.现有两个函数与，给定区间. （1）若与在区间均有意义，求实数的取值范围； （2）讨论与在区间上是否“友好”. 例12、函数在定义域上有反函数，定义：对任意的，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；对任意的，函数与互为反函数，则称满足“积性质”. （1）求证：； （2）判断是否满足“1和性质”，并说明理由； （3）求所有的满足“2和性质”的一次函数解析式； （4）对任意的满足“积性质”，求的解析式. 第15讲 指数函数与对数函数、反函数练习题 【热身训练】 1、函数的定义域为_________. 2、函数的增区间为_________. 3、函数的增区间为_________. 4、已知为奇函数，则_________. 5、已知为上的奇函数，则_________；_________. 6、已知为奇函数，则_________. 7、已知关于的方程有负数根，则实数的取值范围为_________. 8、已知在定义域内存在反函数，且，则_________. 9、设函数，那么_________. 10、函数 的反函数的图像恒过一定点是__