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x2 y2 (
x2 y2 ( x y) 2 , ,
n
1
xy
(x, y) (0,0),
2 2
x y
1 1
数学分析练习题
《数学分析选论》习题选
第十章 . 多元函数微分学
1 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限
（ 1） f ( x, y) x y (x0 y0 ) (0,0)；
（2） f ( x, y) ( x y)sin sin , ( x0 , y0 ) (0,0) .
解 (1) 注意到 im0 f (x , y) 0 (x 0) , f (x , y) 0 ( y 0)， 故两个累次极限均为
n n n n n nlim f ( 1 , 1 ) 1, lim f ( 1
n n n n n n
0，但是 ,
(2) 注意到 f ( , y)
0 | f ( x, y) | | x |
x2
x
2 设 f ( x, y) x2
0
0
(4n 1)20 , f (
(4n 1)
2
y1y sin (n
y
1
) , 故两个累次极限不存在 . 此外，因为
| y |， 所以 ( x, 0 ,0) f ( x, y) 0 .
2yy2 , (x , y) (0 ,0)
2
y
y
( x, y) (0 ,0).
证明 : (x , 0 , 0) f (x, y) 0 .
证明 对 0
由于 | f ( x, y)
2xx0 | | xy 2
2
x
x
时 ,便有 |
2y2 | y
2
y
| x1
| x
2
可知当 0 x2
4
4 2
y
2
x2 y
x y
2
证明：
f ( x , y) 0 |
( x, y ) (0 ,0)lim
( x, y ) (0 ,0)
3 设 f (x , y)
证明 注意到 mx4
lim f (x , y) lim( x, y ) (0,0),( y mx2 ) x 0 (1
lim f (x , y) lim
( x , y ) (0 ,0)它随 m而异，因此 lim
( x , y ) (0 ,0)
4 讨论下列函数的连续性
sin(xy)
（ 1） f ( x, y) x2 y2 ,
0, ( x, y) (0,0)
y 2 |
| x1
| x
2
y2 |,
. 故 ( x , m(0 ,0) f (x, y) 0 .
m
m2 ,
1 / 15
fy
fy ( 0, 0) lim
2 2,2 | xy |
2 2
,
2 | xy | xy 2
4
5
0
f (0, y)
0
x y
z
x y
z z u x u x
x
z v 2
v x u2
y
( uex y2
v
2 / 15
x) ,
（2） f ( x, y)
解 （ 1）注意到
2xy
x y
0
2 | xy |
数学分析练习题
, (x, y) (0,0),
( x, y) ( 0,0)
x2 y2， 有 | f ( x, y) | | sin xy | | sin xy | | xy |
因此 , ( x, yl)i0 ,0) f (x , y) 0 （2）注意到
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