矩阵特征问题的求解.pdfVIP

矩阵特征问题的求解 5.1 引言 在科学技术的应用领域中， 许多问题都归为求解一个特征系统。 如动力学系统和结构系 统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。 n n n ，有数 使 设 A 为 n 阶方阵， A (aij ) R ，若 x R ( x 0) Ax= x （5.1 ） 则称 为 A 的特征值， x 为相应于 的特征向量。因此，特征问题的求解包括两方面： 1．求特征值 ，满足 ( ) det(A I ) 0 （5.2 ） n ，满足齐方程组 2．求特征向量 x R ( x 0) ( A I ) x 0 （5.3 ） 称 （ ）为 A 的特征多项式，它是关于 的 n 次代数方程。 关于矩阵的特征值，有下列代数理论， 定义 1 设矩阵 A, B R n n ，若有可逆阵 P，使 1 B P AP 则称 A 与 B 相似。 定理 1 若矩阵 A, B R n n 且相似，则 （1）A 与 B 的特征值完全相同； （2 ）若 x 是 B 的特征向量，则 Px 便为 A 的特征向量。 定理 2 设 A R n n 具有完全的特征向量系， 即存在 n 个线性无关的特征向量构成 Rn 的 一组基底，则经相似变换可化 A 为对角阵，即有可逆阵 P ，使 1 1 2 P AP D n 其中 i 为 A 的特征值， P 的各列为相应于 i 的特征向量。 定理 3 A R n n ， 1, …, n 为 A 的特征值，则 （1）A 的迹数等于特征值之积，即 n n tr (A) aii i i 1 i 1 （2 ）A 的行列式值等于全体特征值之积，即 det( A) 1 2 n 定理 4 设 A R n n 为对称矩阵，其特征值 1≥ 2 ≥…≥ n ，则 （1）对任 A R n ，x ≠0， ( Ax, x) n 1 (x ,x ) (Ax,x ) （2 ） n min x 0 (x, x) ( Ax ,x) （3） 1 max