线性相关和线性无关.pdfVIP

§9 线性相关与线性无关 教学要求 ： 掌握线性相关与线性无关的定义 , 并能够判断向量组的线性相关性 知识要点 : 一、 定义与例子 : 定义 9.1 对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 , 使得 那么 , 称向量组 线性相关 . 如果这样的 个数不存在 , 即上述向量等式仅当 时才能成立 , 就称向量组 线性无关 . 含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为 其中 , 不全为零 . 只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 , 线性相关的充分必要 条件是 . 考虑齐次线性方程组 (*) 它可以写成 ， 或 , 其中 . 由此可见 , 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解 . 也就是说 , 向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解 . 例 1 向量组 是线性无关的 . 解 : 设有 使 , 即 , 得齐次线性方程组 . 解此方程组得 , 所以向量组 线性无关 . 例 2 设向量组 线性无关 , 又设 , 证明向量组 也线性无关 . 证明 : 设有 使 , 即 , 因为 线性无关 , 故有 此线性方程组只有零解 , 也即向量组 线性无关 . 定理 9.1 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由 其余 个向量线性表示 . 证明 : 必要性 设 线性相关 , 即存在一组不全为零的数 , 使得 . 不妨设 , 则有 , 即 可以由其余 个向量 线性表示 . 其实 , 在向量等式 中, 任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表 示 . 充分性 设向量组