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精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 数论讲义 定义 （欧拉 (Euler) 函数） 对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) （ 1）对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p-1； （ 2）就对于正整数 n = pk ， φ (n) = pk - pk -1 欧拉 (Euler) 函数公式： 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 pp1 2如n的标准分解为： n p p 1 2 p k，就 ( n) n(1 1 )(1 1 ) p1 p2 (1 1 pk 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 k例 1 与 300 互素且不超过 300 的自然数的个数； k 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 |精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习.  解 所求的数即  (300)  300(1 1 )(1 2 1 1 )(1 ) 80 3 5 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 |资. |料. * | * | * | * | |欢. |迎. |下. |载. 例 2 1 到 1001 这 1001 个数中，是 7,11 或 13 的倍数的有多少个？ 解：由于 7,11,13 均为质数，全部不是它们的倍数的数都是和它们互素的，而与它们互素 就意味着和 1001 互素，且这些数都是比 1001 小的数；所以我们可以直接使用 1 1 1 (1001) 1001 (1 ) (1 ) (1 ) 7 11 13 6 10 12 720 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 定理 1：（欧拉（ Euler ）定理）设 (a, m) ＝1，就 a ( m) 1(mod m) ； 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 分析与解答：要证  ( m) a 1(mod m)  ，我们得设法找出 ( m) 个 n 相乘，由 (m) 个数我 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 们想到 1,2, ,m 中与 m 互质的 (m) 的个数： a1 ,a 2, , a ( m) ，由于 (a, m) ＝ 1，从而 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 aa1 ,aa2 , ,aa  ( m) 也 是 与 m 互 质 的 (m) 个 数 ， 且 两 两 余 数 不 一 样 ， 故 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 a1 a2 a (m ) aa1 , aa2, , aa  (m) a ( m) a1 a 2 a ( m) （ mod m ）， 而 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 （ a1 a2 a (m) m ）＝ 1，故 a  ( m) 1(mod m) ； 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题； 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 例 3. 设 (91, ab) 1，求证： 91| (a12 b12 ) ； 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 证明：由于 91 7 13，故由 (91, ab) 1知 (91, a) 1 ，从而 (7, a) 1,(13, a) 1 ，但是 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 (7 ) 6, (13) 12 ，故由欧拉定理得： a 12 (a 6 ) 2 12 1(mod 7) ，a12 1(mod 13) ， 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 从而 a12 1(mod 91) ；同理， b12 1(mod 91) ； 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 精品word学习资料可编辑 名师归纳总结——欢迎下载 于是， a12 b12 1 1 0(mod 91) ，即