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找二面角的平面角的方法汇总 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点•对于二面角方面的问题， 学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的 平面角的方法. 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型. 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1在60的二面角:-a - ■的两个面内，分别有 A和B两点.已知 A和B到棱的 距离分别为2和4,且线段 AB =10，试求： (1) 直线AB与棱a所构成的角的正弦值； (2) 直线AB与平面:所构成的角的正弦值. 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿.如果解决 了这个问题，这道题也就解决了一半. 根据题意，在平面一：内作AD _ a ；在平面:-内作BE _ :- , CD//EB，连结BC、 AC .可以证明CD _ a，则由二面角的平面角的定义，可知 • ADC为二面角:-a - 一：的 平面角.以下求解略. 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例2如图，在平面1内有一条直线 AC与平面〉成30 , AC与棱BD成45 •，求平 面〉与平面：的二面角的大小. 分析：找二面角的平面角， 可过A作AF _ BD ; AE _平面 ?,连结FE .由三垂线定理可证 BD _ EF ,则一 AFE为二面角 的平面角. 总结：(1)如果两个平面相交， 有过一个平面内的一点与另一 个平面垂直的垂线， 可过这一点向棱作垂线， 连结两个垂足.应用 垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. (2)在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作” 、“连”、“证”，即“作 AF丄BD ”、“连结EF ”、“证明EF丄BD ”. 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角 的平面角 例3如图1，已知P为〉-CD-1内的一点，PA_：•于A点，PB_ ［于B点，如 PB -二 PB — CD =CD _ 平面 PAB .因此只要把平面 PAB与平面：•、 1的交线画出来即可.证明 • AEB为:-CD — 的 平面角，• AEB =180 -n (如图2). 注意：这种类型的题，如果过 A作AE — CD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明 BD中点，可证CE _ BD，则.AEC为二面角A-BD -C的平面角. 2 •全等三角形 例8如图，已知空间四边形 ABCD , AB二BC=6 , AD二DC = 4 , BD = 8 , AC =6 •试求A-BD -C的余弦值. 分析：过A作AE _ BD，垂足为E ,连结CE .根据已知条件， △ AED和△ CED全等，可证CE _ BD ,则.AEC为二面角 A-BD -C的平面角. 3.二面角的棱蜕化成一点 例9 如图，四棱锥 A-BCED中，DB和EC与面ABC垂直， △ ABC为正三角形. （1） 若BC=EC=BD时，求面 ADE与面ABC的夹角； （2） 若BC = EC =2BD时，求面 ADE与面ABC的夹角. 分析：如图，面 ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面 ADE与面ABC与面DC相交.如果三个平面两两相交， 它们可 能有三种情况：（1）交线为一点；（2） 一条交线；（3 ）三条交线 互相平行.在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定 有过A且平行于DE的一条交线. 可过A作AM // DE，平面ADE与平面 ABC的交线即为 AM .过A作AN _ DE于N，过A作AF _ BC于F .可证 AN _ AM , AF _ AM，则.NAF为面ADE与面ABC的夹角. 如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况， 这三个 面的交线为一点.延长ED、CB相交于G点，连结AG . AG即为平面 ADE与平面ABC 的交线，通过一些关系可证 .CAE为平面ADE与平面ABC的夹 角. 通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较 容易了.只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找 出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解.