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— PAGE \* Arabic 1 — 音乐背后的数学 音乐背后的数学  音乐背后的数学  张慧芳(教育部北师大课程中心数学工作室)  数学家莱布尼兹（Leibniz，1646-1716）说:“音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目在打交道。”  近代作曲家斯特拉文斯基 (Stravinsky，1882-1971)说：“音乐的形式较近于数学而不是文学，音乐确实很像数学思想与数学关系。”他特意将“像数学思想的东西”溶入他的音乐作品之中。  音乐为何悦耳、调和、美呢可否说出一些道理田野中昆虫啁啾的鸣叫，枝头鸟儿清脆的叫声，《牧笛》优美动听的旋律，贝多芬令人振奋的交响曲……当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系？  人们对数学与音乐之间联系的研究和认识，可以说源远流长。相信音乐的背后有数学规律可循，并且努力去追寻出音律，这在历史上最早且最著名的当推毕达哥拉斯学派（约公元前5-6世纪）。而中国古代的“三分损益法”就是通过数学运算研究音律的方法。人们常用的乐谱也是数学在音乐上应用得最为显著的地方之一。  一音律背后的比例和分数乘法  音的高低由弦振动的频率决定。如何定出音律，即定出音阶：   的频率比？这是音乐的根本问题。  1．毕达哥拉斯琴弦律  毕达哥拉斯发现音律有一段美丽的故事。有一天毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口，被铁锤打铁的有节奏的悦耳声音所吸引（笔者在家乡小城镇曾见识过打铁店，  现在已不多见了）。他感到很惊奇，于是走入店中观察研究，参见图1。他发现有四个铁锤的重量比恰为12：9：8：6，将两个两个一组来敲打都发出和谐的声音，分别是：12:6=2:1的一组，12:8=9:6=3:2的一组，12:9=8:6=4:3的一组。毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证，参见图2。对于固定张力的弦，利用可自由滑动的琴马来调节弦的长度，一面弹，一面听。毕达哥拉斯经过反复的试验，终于初步发现了音乐的奥秘，归结出毕达哥拉斯的琴弦律：  （1）当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和谐悦耳的；  （2）两音弦长之比为4:3，3:2及2:1时，是和谐的，并且音程分别为四度、五度及八度。  也就是说，如果两根绷得一样紧的弦的长度之比是 2 : 1, 同时或连续弹奏，就会发出相差八度的谐音; 而如果两条弦的长度的比是 3 : 2时, 就会发出另一种谐音，短弦发出的音比长弦发出的音高五度; 等等。  物理学家伽利略(1564-1642)发现弦振动的频率跟弦长成反比。因此，我们可以将毕达哥拉斯所采用的“弦长”改为“频率”来定一个音的高低。从而毕达哥拉斯的发现就是：两音的频率比为1:2，2:3及3:4时，分别相差八度、五度及四度音。例如，频率为200与300的两音恰好相差五度音。   图1   图2 单弦琴  毕达哥拉斯音律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比例，形成令人喜悦  的和谐音乐，这就是一种特别的数学表现。不仅如此，和谐的比例还贯穿于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比，它们绕地球运行时会发出美妙的球体音乐。开普勒（1571-1630）从音乐长久为人所尊敬的神奇比例中，发现天上行星运行的规则：从太阳的位置观察，土星在近日点时，是以每天 135 秒速度移动一个弧度距离，在远日点则只需 106 秒，这两个数字之比约为 5：4，恰等于产生大三度音程的两根弦的振动比例；而木星会产生一个小三度  音程；火星则是完全五度音程。这样，每个星球似乎都会产生一个音乐上的比例数字。博伊西斯（475-524）则将和谐分为三个等级：最初级的是乐器的音乐，包括歌唱及乐器演奏出来的音乐；其次是人类的音乐，讲究身体与灵魂的调和、平衡与恰当的比例；最完美的调和是世界的音乐，包括行星的井然有序之运行、元素的适当比例混合、四季的循环以及大自然、宇宙的和谐。  2、“三分损益法”定音阶  定音阶的频率比就是要在1与2之间插入六个简单整数比：  2187654321==r r r r r r r r ，并使其中含有四度音34及五度音23。 毕达哥拉斯通过单弦琴的实验，调整弦的长度成特定整数比，就能够产生全部的音阶，即毕达哥拉斯音律的频率比如下：     事实上，毕达哥拉斯音律可以采用“三分损益法”（又叫 “管子法”）。公元前4世纪，管子一书的地圆篇记载有此法。所谓“三分损益法”就是交互使用了“三分损一法