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— PAGE \* Arabic 1 — 非线性物理 分形 非线性物理——分形   拉斯(Weieratrass)证明了一种连续函数———维尔斯特拉斯函数在任意一点均不具有有限或无限导数。同年，康托尔(Cantor)引入了一类全不连通的紧集，被称为康托尔三分集(图2.2)。1890 年皮亚诺(Peano)构造出填充平面的曲线。皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。1904 年科切(Koch) 通过初等方法构造了处处不可微的连续曲线———切曲线，并且讨论了该曲线的性质。  波瑞（Perrin）在1913 年对布朗运动的轨迹图进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920 年促使维纳(Wiener)建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，维纳采用了“混沌”一词。由于非常“复杂”的几何的引入，长度、面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合，闵可夫斯基(Minkowski) 于1901 年引入了闵可夫斯基容度。豪斯道夫（Hausdorff)于1919 年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。这些实际上指出了为了测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。总之，在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题做了最基本的工作。  第二阶段大致为1926 年到1975 年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。贝希柯维奇及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S- 集的分析与几何性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。布利干(Bouligand)于1928 年引入了布利干维数，庞德泽金(Pontrjagin)与史尼雷尔曼（Schnirelman）于1932 年引入了覆盖维数，柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）与季霍米洛夫  (V.Tikhomiro)于1959 年引入体维数。由于维数可以从不同角度来刻画集合的复杂性，从而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)与柯汉(Kahane)为代表的法国学派从稀薄集的研究出发，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，应用了相应的理论方法和技巧，并在调和分析理论中得到了重要应用。  尽管此阶段的分形研究成果颇丰，但绝大部分局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系。另一方面，物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有利的工具来处理。正是在这种形势下，曼德尔布罗特以其独特的思想,自20 世纪60年代以来，系统、深入、  创造性地研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌生成的几何性质等典型的自然界的分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成就。  第三阶段为1975 年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。曼德尔布罗特于1977 年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代的专著。此专著，第一次系统的阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段。5 年后，他又出版了另一部著作《自然界的分形几何学》，至此分形理论初步形成。由于对科学的杰出贡献，他荣获了1985 年的Barnard 奖。  现在“分形”的研究已经进入了一个深入攻坚与广泛应用的阶段。但是“分形”理论的研究却存在很大的缺陷，例如：分形严格的数学定义是什么？应该如何对分形进行简单的计算？重要的生长模型- 扩散置限凝聚生长模型  DLA(Diffusion Limited Aggregation)的物理本质是什么，它究竟是按什么规律在进行生长等。由于非线性数学工具的匮乏，我们在很多问题上都无法做出定量的刻画，目前大量的工作还是以计算机模拟为主。  三．自然定律本来是非线性的  物理学家早就意识到自然现象的非线性, 例如费米曾感叹道:“《圣经》里也没有说自然定律要表示成线性的。”实际上, 自然界里一切物质运动都遵循着非线性形式的规律。至于线性物理理论中的线性方程等线性数学表示, 只是对客观运动在一定条件下的近似摹写。诚然, 因受实验观测手段的限制(或者人工实验附加了特定条件) ,某些物质系统的非线性因素未必明晰地显露(或者被强烈抑制) , 那末对其若用线性理论描述, 即能达到满意的结果。但随着实验实践的发展, 任何物质系统终究要以愈来愈完整的面目呈现; 因为物质之间的相互作用实际上并不单一、相当复杂, 故而物质运动往往不会是比较简单的线性形式。所以说,