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第 PAGE \* Arabic 5 页 数列练习题（二） 数列求和 一、知识清单： 1、等差数列的性质： （1）当公差d≠0时，等差数列的通项公式：是关于n的一次函数，且斜率为d，前n项和是关于n的二次函数，且常数项为0（秃尾巴式）。 （2）若公差d＞0,则为递增等差数列，若d＜0,则为递减等差数列，若d=0,则为常数列。 （3）若m+n=p+q,则，特别的，当m+n=2p时，则有（当时，反之也成立）。 （4）若是等差数列，则，也成等差数列；而是等比数列，若是等比数列，且，则若是等差数列。 （5）在等差数列中，。 （6）若等差数列的前n项和分别为,且,则。 （7）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。求的最大（最小）值常用下面的方法：法一：由不等式组确定出前多少项是非负（或非正）； 法二：因为是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。 2、（1）等比数列的前n项和： ， 注意：当不能判断公比q是否为1时，要q对分q=1和q≠1两种情况讨论。 （2）若m+n=p+q,则，特别的，当m+n=2p时，则有。（当时，反之也成立）。 （3）若是等比数列，数列也是等比数列； （4）,这里,但，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据来判断是否为等比数列。 3、数列求和的常用方法： （1）分组法求数列的和：如，常用的公式，，， （2）错位相减法求和：如； （3）倒序相加求和：如； （4）裂项相加求和，常用的裂项方法： ①， ② ③，， ④， ⑤， ⑥ 二、典型例题 1、公式法： （1）等差数列前n项和公式： （2）等比数列前n项和公式： （3） （4） （5） 例1、数列是的等比数列，是前n项和，且成等差数列， （1）求公比q的值；（2）求的值。 2、倒序相加法：如果一个数列与首未两项“等距离”的两项之和等于首未两项之和，可采用“正着写和”与“倒着写和”的两式相加，再除以2。从而得到前n项和。 例2、设，求和 3、错位相减法：如果一个数列是的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应乘积组成，此时可采用错位相减法求和。 例3、求和： 4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，则数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负数相互抵消，使前n项和变成首未若干少数项之和。 例4、(1)求数列的前n项和。 (2)已知数列的通项公式是，求前n项和。 5、拆项分组法：把数列的每一项分成两项，或把数列分成两部分，使其转化成等差或等比数列，将分拆之后的数列求和，再把这些和加起来得到数列的和。 例5、求和：（1） （2）求数列的前n项和。 6、并项法：当一个数列的项有规律地正负交替出现时，可将相邻的正负两项合并，然后再求和。 例6、(1)、数列的前n项和为，求 (2)、求数列的前2008项的和 7、转化、化归法：对既非等差数列，又非等比数列求和，往往通过适当的变换化归为等差、等比数列求和，或化归为特殊数列，利用公式求和。 例7、求数列的前n项和为。 三、拓展练习： 1、（1）已知数列的通项公式，求它的前n项和. 2、（3）已知数列 3、已知数列的各项为正数，其前n项和， （I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证 4、例5．数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足 （1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和． 5、求和： 6、求和： 7、求和： 8、求和： 9、已知数列的前n项和，求数列的前n项的和。