第三章 多自由度系统.pptVIP

例4-2： §4.3 主振型的正交性 振型矩阵 振型矩阵能使方程解耦是因为振型向量有一个重要性质：振型向量之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性。 坐标变换 ， 在 下的质量矩阵和刚度矩阵 振型正交性的数学表示 设系统的第r 阶与第s 阶振型向量 分别表示为 和 ， 有: 振型正交性的证明 式（1）左乘 ,式（2）左乘 ： 再将（4）转置，得： （3）-（5）得： 再将（6）代入（3），得： 称为主坐标变换。 重要定义： 广义坐标 称为主坐标。主坐标并无明显的物理意义，但由 给出了确切的数学定义。 第r 阶模态刚度 第r 阶模态质量 §4.4 无阻尼强迫振动 例4-2：在原来处于平衡状态的系统中的第二个质量 上作用一斜坡力 ，求系统的响应 解：① 列方程： 以m1，m2， m3水平位移x1，x2， x3为广义坐标，平衡 位置为坐标原点，水平向右为坐标正向，建立坐标系。 应用能量法，建立系统微分方程如下： ②固有频率与振型 ③主坐标变换 ④ 解主坐标方程 ⑤ 进行反变换，返回到原坐标 ，得到由 物理坐标描述的解 即： 作业： 4.11 3.2 运动微分方程 ， ， 本例中，激励来自于地面不平，在广义坐标zo，φ，θ上无外激励作用。 在z1，z2，z3，z4上有外激励作用。受到的激励来自于m1，m2，m3，m4与地面间的弹性元件和阻尼元件， 3.2 运动微分方程 ， ， 由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统的惯性力、阻尼力和弹性力 它们的分量分别为施加于各个自由度上的惯性力、阻尼力和弹性力。 3.2 运动微分方程 ， ， 3.2.2 运动微分方程的坐标变换 寻找一个可逆线性变换矩阵Φ，将质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵变为对角矩阵。 线性变换前、后多自由度系统运动微分方程的关系。 设有可逆线性变换Φ，使得 x=Φy， 称x为旧坐标，y为新坐标。 3.2 运动微分方程 ， ， 系统的动能、能量耗散函数和势能的大小与所选择的描述系统振动的广义坐标无关，是坐标变换下的不变量，因而有 3.2 运动微分方程 ， ， 新坐标y下的质量矩阵M1、阻尼矩阵C1和刚度矩阵K1与旧坐标x下的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K的关系为 代入方程 有 两边左乘ΦT可得 新坐标y下的广义激励 3.2 运动微分方程 ， ， 新坐标系下方程的初始条件 左乘ΦTM，得 寻找的变换矩阵Φ使M1为对角矩阵，有 新坐标y下初始条件为 x=Φy 在 3.2 运动微分方程 ， ， 新坐标系下的方程 3.3 固有频率与振型 ， ， 3.3.1 固有频率、固有振型和固有振动 解可以写成如下形式 x=? cosωt ?和ω是待求的实值未知量，均与时间t无关，?不为零向量 3.3 固有频率与振型 ， ， 称为广义特征值方程。ω2称为广义特征值，?称为特征向量。 有非零解的充分必要条件 称为特征方程，也称为频率方程。解之可得n个根，即n个广义特征值 3.3 固有频率与振型 先讨论广义特征值是单根的情况 n个广义特征值依次代入 r = 1，2，…，n 可以得到n个方程 系数矩阵的秩为n-1. 由于系数矩阵不满秩，将得到无穷多个非零向量?r. 如果?r1，?r2均是方程的解，二者必平行，有 ?r1= c?r2 3.3 固有频率与振型 在上式两边左乘?rT有 质量矩阵M 和刚度矩阵K均为正定矩阵 取广义特征值 3.3 固有频率与振型 取广义特征值的正平方根ω1，ω2，…，ωn，按从小到大的顺序排列 ω1≤ω2≤…≤ωn 称ω1，ω2， …，ωn为多自由度振动系统的固有频率。下标表示固有频率的阶数。 称与ω1，ω2， …，ωn对应的由广义特征值方程解出的特征向量?1，?2， …，?n为多自由度振动系统的固有振型，简称振型。下标表示固有振型的阶数。 注意，这里的?1，?2， …，?n是从每个特征子空间中任选的特征向量。 3.3 固有频率与振型 将某一阶固有频