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全国高中数学联赛一试一试题 全国高中数学联赛一试一试题 PAGE / NUMPAGES 全国高中数学联赛一试一试题 2013年全国高中数学联赛一试一试题 一．填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分。 2 1.设会合A2,0,1,3，会合BxxA,2xA，则会合B 中所有元素的和为 2上，知足OAOB4，F是抛物线的 2.在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y4x 焦点，则 S OFA S = OFB 3.在ABC中，已知sinA10sinBsinC,cosA10cosBcosC，则tanA的值为 4.已知正三棱锥PABC 的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 5.设a、b 为实数，函数f(x)axb知足：对随意x[0,1]，有f (x)1，则ab的最大值为 6.从1,2,,20中任取5个不一样的数，此中起码有2个是相邻数的概率为 7.若实数x，y 知足x4y2xy，则x的取值范围是 8.已知数列 an 共有 9 项，此中 a1 a9 1，且对每个 i 1,2, ,8 均有 a i a i 1 2 ,1, 1 2 ，则这样 的数列的个数为 二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（此题满分16 分）给定正数数列xn知足Sn2Sn1,n2,3,,这里Snx1xn. 证明：存在常数C0,使得 2 2 x y 10.（此题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的方程为 1(a b 0) 2 2 a b ， A1,A分别为椭圆的左、右极点，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不一样于A1和A2的 2 随意一点.若平面中有两个点Q,R知足QA1PA1,QA2PA2,RF1PF1,RF2PF2, 试确立线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。 2 11.（此题满分20 分）设函数f(x)axb，求所有的正实数对(a,b)，使得对随意实数x,y均 有f(xy)f(xy)f(x)f(y) 2013年全国高中数学联合比赛加试一试题 一．（此题满分40 分）如图，AB是圆的一条弦，P 为弧AB 内一点，E、F 为线段AB上 两点，知足AE=EF=FB.连结PE、PF并延伸，与圆分别项交于点C、D.求证： (解题时请将图画在答卷纸上) 二．（此题满分40分）给定正整数u、v.数列an的定义以下：a1uv，对整数m1， 记Smm(1,2,).证明：数列Sn中有无量多项是完整平方数。 a1aam 2 三．（此题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，此中m,n2为给定的整数. 每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得x分，未答 对的学生得0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低摆列为 p1p2，求p1p2的最大可能值。 p n 四．（此题满分 50 分）设 n,k 为大于 1 的整数， k n 2 .证明：存在 2k 个不被 n 整除的整数， 若将他们随意分红两组，则总有一组有若干个数的和被n 整除。 2013年全国高中数学联合比赛一试一试题参照答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依照本评分标准。填空题只设8分和0 分；其余各题的评阅，请严格依照 本标准评分品位给给分，不要增添其余中间品位。 2.假如考生的解答和本解答的不一样，只需给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参照本评分 标准适合区分品位评分，解答题中第9 题4 分为一个品位.第10、11 小题5 分为一个品位， 不要增添其余中间品位. 一．填空题：本大题共8小题，没小题8 分，共64分. 1.答案：-5 22 【解答】易知B2,0,1,3.当x2,3时，22,7 x，有2xA； 22 而当x0,1时，2x2,1，有2xA.所以，依据B 的定义可知B2,3. 所以，会合B中所有元素的和为-5. 2.答案：2 【解答】点 F 的坐标为（ 1,0）.设 ( , ), ( , ) A x1 y B x y ，则 1 2 2 2 2 y y 1 2 x , x ，故 1 2 4 4 1 2 4=12 OAOBx1xyy(yy)yy 21212 16 12 即(y1y8)0，故y1y28 2 16 111 2 SOFAOFB))=1y2 S(OFy1(OFy2OFy=2 224 3.答案：11 【解答】因为sinAcosA10(sinBsinCcosBcosC)10cos(BC)10cosA，所以 sinA11cosA，故tanA11 4.答案： 2 6 【解答】如图，设球心O在面ABC与面ABP内的拍照分别为H 和K，AB中点为M，内切 球半径为 r,则 P、K、M 共线， PHM PKO ， 2 且OH OK r, PO PH OH 2 r , MH 3 6