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函数的周期性 一、周期函数的 定义 对于函数 f (x ) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值 时，都有 f (x T ) f (x) ， ．．．． ．．．． 那么函数 f (x ) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。 说明： （1）T 必须是常数，且不为零； （2 ）对周期函数来说 f ( x T ) f (x ) 必须对定义域内的任意 x 都成立。 二、常见函数的最小正周期 2 π 正弦函数 y =sin （ωx+ φ）（w0）最小正周期为 T= 2 π y=cos （ωx+ φ）（w0）最小正周期为 T= π y =tan （ωx + φ）（w0）最小正周期为 T= π y =|sin （ωx + φ）| （w0）最小正周期为 T= f(x)=C(C 为常数 ) 是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结 1、 f (x T ) f ( x) y f (x) 的周期为 T 2 、 f (x a) f (b x) (a b) y f (x) 的周期为 T b a 3 、 f (x a ) f (x ) y f (x) 的周期为 T 2a c 4 、 f (x a) (C 为常数 ) y f ( x) 的周期为 T 2a f (x) 1 f (x) 5 f (x a) y f (x ) 的周期为 T 2a 1 f (x) 1 6 、 f (x a) y f (x ) 的周期为 T 4a f ( x) 1 7 、 f (x a) 1 f (x ) y f (x) 的周期为 T 4a 1 f (x) 8 、 f (x 2a ) f (x a ) f (x ) y f ( x) 的周期为 T 6a 9 、 f (x n 2) f (x n) f (x n 1) ；（它是周期函数，一个周期为 6） 10 、 y f (x ) 有两条对称轴 x a 和 x b （a b) y f (x) 周期 T 2(b a) 11 、 y f (x ) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) y f (x ) 周期 T 2(b a) 12 、 y f (x ) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) y f (x ) 周期 T 4(b a) 13 、奇函数 y f (x) 满足 f (a x ) f (a x) y f (x) 周期 T 4a 。 14 、偶函数 y f (x) 满足 f ( a x ) f (a x)
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